ISO 31-11

Replacement character.svg Эта страница или раздел содержит специальные символы Юниа.
Если у вас отсутствуют необходимые шрифты, некоторые символы могут отображаться неправильно.

ISO 31-11:1992 — часть международного стандарта ISO 31, которая определяет «математические обозначения и символы для использования в естественных науках и технологии» (англ. mathematical signs and symbols for use in physical sciences and technology). Данный стандарт был принят в 1992 году, а в 2009 году заменён на несколько дополненный стандарт ISO 80000-2[1].


Математические символы[ | ]

Ниже приведены (не полностью) основные разделы стандарта[2].

Математическая логика[ | ]

Обозна-
чение
Употребление Название Смысл и пояснения Комментарии
pq конъюнкция p и q
pq дизъюнкция p или q (возможно, оба)
¬ ¬ p отрицание неверно p; не-p
pq импликация если p, то q; из p следует q Иногда записывается в виде pq или qp.
xA p(x)
(∀xA) p(x)
квантор общности для каждого x из множества A верно утверждение p(x) Для краткости уточнение "∈A" часто опускают, если оно ясно из контекста.
xA p(x)
(∃xA) p(x)
квантор существования существует x из множества A, для которого утверждение p(x) верно Для краткости уточнение "∈A" часто опускают, если оно ясно из контекста.
Вариант ∃! означает, что такое x единственно во множестве A.

Теория множеств[ | ]

Обозна-
чение
Употребление Смысл и пояснения Комментарии
xA x принадлежит A; x является элементом множества A
xA x не принадлежит A; x не является элементом множества A Перечёркивающая линия может быть и вертикальной.
Ax Множество A содержит элемент x равносильно xA
Ax Множество A не содержит элемента x равносильно xA
{ } {x1, x2, ..., xn} множество, образованное элементами x1, x2, ..., xn также {xiiI}, где I обозначает множество индексов
{ ∣ } {xAp(x)} множество таких элементов A, для которых утверждение p(x) верно Пример: {x ∈ ℝ ∣ x > 5}
Для краткости уточнение "∈A" часто опускают, если оно ясно из контекста.
card card(A) кардинальное число элементов множества A; мощность A
AB разность множеств A и B; A минус B Множество элементов из A, которых нет в B.
AB = { xxAxB }
Не следует записывать в виде AB.
пустое множество
множество натуральных чисел, включая ноль ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
Если ноль исключён, надо пометить символ звёздочкой:
* = {1, 2, 3, ...}
Конечное подмножество: ℕk = {0, 1, 2, 3, ..., k − 1}
множество целых чисел ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
Целые ненулевые обозначаются

* = ℤ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}

множество рациональных чисел * = ℚ ∖ {0}
множество вещественных чисел * = ℝ ∖ {0}
множество комплексных чисел * = ℂ ∖ {0}
[,] [a,b] замкнутый интервал в ℝ от a (включая) до b (включая) [a,b] = {x ∈ ℝ ∣ axb}
],]
(,]
]a,b]
(a,b]
полуоткрытый слева интервал в ℝ от a (исключая) до b (включая) ]a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a < xb}
[,[
[,)
[a,b[
[a,b)
полуоткрытый справа интервал в ℝ от a (включая) до b (исключая) [a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ ax < b}
],[
(,)
]a,b[
(a,b)
открытый интервал в ℝ от a (исключая) до b (исключая) ]a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a < x < b}
BA B содержится в A; B есть подмножество A Каждый элемент B принадлежит A. Вариант символа: ⊂ .
BA B содержится в A как собственное подмножество Каждый элемент B принадлежит A, но B не равен A. Если ⊂ обозначает "содержится", то ⊊ должно использоваться в смысле "содержится как собственное подмножество".
CA C не содержится в A; C не является подмножеством A Вариант: CA
AB A содержит B (как подмножество) A содержит все элементы B. Вариант: ⊃. BA равносильно AB.
AB. A содержит B как собственное подмножество. A содержит все элементы B, но A не равно B. Если используется символ ⊃ , то ⊋ должен использоваться в смысле "содержит как собственное подмножество".
AC A не содержит C (как подмножество) Вариант: ⊅ . AC равносильно CA.
AB объединение A и B Множество элементов, принадлежащих либо A, либо B, либо обоим A и B.
AB = { xxAxB }
объединение семейства множеств , множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из A1, ..., An. Варианты: и , , где I — множество индексов.
AB пересечение A и B Множество элементов, принадлежащих как A, так и B.
AB = { xxAxB }
пересечение семейства множеств , множество элементов, принадлежащих каждому A1, ..., An. Варианты: и , , где I — множество индексов.
AB разность A и B Множество тех элементов A, которых нет в B. Символ A часто опускается, если он понятен по контексту. Вариант: ∁AB = AB.
(,) (a, b) упорядоченная пара a, b (a, b) = (c, d) тогда и только тогда, когда a = c и b = d.
Вариант записи: ⟨a, b⟩.
(,...,) (a1a2, ..., an) упорядоченный n-кортеж Вариант записи: ⟨a1, a2, ..., an⟩ (угловые скобки).
× A × B декартово произведение множеств A и B Множество упорядоченных пар (a, b), где aA и bB.
A × B = { (a, b) ∣ aAbB }
A × A × ⋯ × A обозначается An, где n — число сомножителей.
Δ ΔA множество пар (a, a) ∈ A × A, где aA; то есть диагональ множества A × A ΔA = { (a, a) ∣ aA }
Вариант записи: idA.

Прочие символы[ | ]

Обозначение Пример Смысл и пояснения Комментарии
Юни TeX
ab a равно b по определению[2] Вариант записи: a := b
= a = b a равно b Вариант: символ ≡ подчёркивает, что это равенство есть тождество.
ab a не равно b Вариант записи: указывает, что a не тождественно равно b.
ab a соответствует b Пример: на карте масштаба 1:106 1 см ≙ 10 км.
ab a приблизительно равно b Символ ≃ означает "асимптотически равно".

ab
ab
a пропорционально b
< a < b a меньше, чем b
> a > b a больше, чем b
a b a меньше или равно b Вариант: ≦.
a b a больше или равно b Вариант: ≧.
ab a намного меньше, чем b
ab a намного больше, чем b
бесконечность
()
[]
{}
⟨⟩
, скобки
, квадратные скобки
, фигурные скобки
, угловые скобки
В алгебре приоритет разных скобок не стандартизован. Некоторые разделы математики имеют особые правила для употребления .
AB ∥ CD прямая AB параллельна прямой CD
прямая AB перпендикулярна прямой CD

Операции[ | ]

Обозначение Пример Смысл и пояснения Комментарии
+ a + b a плюс b
ab a минус b
± a ± b a плюс-минус b
ab a минус-плюс b −(a ± b) = −ab
... ... ... ...

Функции[ | ]

Пример Смысл и пояснения Комментарии
функция f определена на D и принимает значения в C Используется для явного указания областей определения и значения для функции.
Множество всех значений функции, соответствующих элементам подмножества S области определения.

Показательная и логарифмическая функции[ | ]

Пример Смысл и пояснения Комментарии
e основание натуральных логарифмов e = 2,71828...
ex показательная функция с основанием e
логарифм с основанием
lb x двоичный логарифм (с основанием 2) lb x =
ln x натуральный логарифм (с основанием e) ln x =
lg x десятичный логарифм (с основанием 10) lg x =
... ... ...

Круговые и гиперболические функции[ | ]

Пример Смысл и пояснения Комментарии
отношение длины окружности к её диаметру = 3,14159...
... ... ...

Комплексные числа[ | ]

Пример Смысл и пояснения Комментарии
i   j мнимая единица; в электротехнике вместо используется символ .
Re z вещественная часть z z = x + iy, где x = Re z и y = Im z
Im z мнимая часть z
z абсолютная величина z; модуль z Иногда обозначается mod z
arg z аргумент z; фаза z , где r = ∣z∣, φ = arg z, При этом Re z = r cos φ, Im z = r sin φ
z* (комплексно-) сопряжённое к z число Вариант: чёрточка над z вместо звёздочки
sgn z sgn z sgn z = z / ∣z∣ = exp(i arg z) для z ≠ 0, sgn 0 = 0

Матрицы[ | ]

Пример Смысл и пояснения Комментарии
A матрица A ...
... ... ...

Системы координат[ | ]

Координаты Радиус-вектор точки Название системы координат Комментарии
x, y, z прямоугольная система координат (декартова) x1, x2, x3 для координат и e1, e2, e3 для векторов базиса. Эта символика легко обобщается на многомерный случай. ex, ey, ez образуют ортогональный (правый) базис. Базисные векторы в пространстве часто обозначаются i, j, k.
ρ, φ, z цилиндрическая система координат eρ(φ), eφ(φ), ez образуют ортогональный (правый) базис. Если z= 0 (двумерный случай), то ρ и φполярные координаты.
r, θ, φ сферическая система координат er(θ,φ), eθ(θ,φ),eφ(φ) образуют ортогональный (правый) базис.

Векторы и тензоры[ | ]

Пример Смысл и пояснения Комментарии
a
вектор a векторы в литературе могут выделяться жирным шрифтом и/или курсивом, а также стрелкой над буквой[3]. Любой вектор a можно умножить на скаляр k, получая вектор ka.
... ... ...

Специальные функции[ | ]

Пример Смысл и пояснения Комментарии
цилиндрические функции Бесселя (первого рода) ...
... ... ...

Стандарт ISO 80000-2[ | ]

Новый, дополненный стандарт ISO 80000-2 взамен ISO 31-11 появился в 2009 году. В нём добавились новые разделы (всего их стало 19):

  • Стандартные числовые множества и интервалы (Standard number sets and intervals).
  • Элементарная геометрия (Elementary geometry).
  • Комбинаторика (Combinatorics).
  • Преобразования (Transforms).

Название стандарта изменено на «Величины и единицы измерения» (Quantities and units — Part 2: Mathematics).

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. ISO 80000-2.
  2. 1 2 Thompson, Ambler. Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing / Ambler Thompson, Barry M Taylor. — Gaithersburg, MD, USA : Национальный институт стандартов и технологий, March 2008.
  3. Другие встречающиеся варианты записи (например, чёрточка над буквой или готический шрифт) в стандарте не упоминаются.

Ссылки[ | ]