D-монотонный оператор

Монотонный оператор — оператор, удовлетворяющий условию монотонности. Понятие монотонного оператора является обобщением понятия монотонной функции. Широко применяется в функциональном анализе при исследовании и приближённом решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.


Определение[ | ]

Пусть — линейное топологическое пространство, — произвольные элементы . Обозначим скалярное произведение элементов , — норма в пространстве . Оператор называется:

  • монотонным, если ;
  • строго монотонным, если для ;
  • d - монотонным, если для некоторой строго возрастающей функции на ;
  • равномерно монотонным, если для некоторой строго возрастающей функции на с ;
  • сильно монотонным (c постоянной монотонности m), если , .
  • радиально непрерывным, если при любых фиксированных вещественная функция непрерывна на .
  • коэрцитивным, если существует определённая на вещественная функция с , такая, что

Основная теорема теории монотонных операторов[ | ]

Пусть — радиально непрерывный монотонный коэрцитивный оператор. Тогда множество решений уравнения при любом непусто, слабо замкнуто и выпукло[1].

Примечания[ | ]

Литература[ | ]

  • Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 336 с.
  • Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монтонных операторов в теории нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1972. — 416 с.