Arcsin

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

  • арксинус (обозначение:  угол, синус которого равен )
  • арккосинус (обозначение:  угол, косинус которого равен и т. д.)
  • арктангенс (обозначение: ; в иностранной литературе )
  • арккотангенс (обозначение: ; в иностранной литературе или )
  • арксеканс (обозначение: )
  • арккосеканс (обозначение: ; в иностранной литературе )

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: но они не прижились[1]. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin−1, cos−1 для арксинуса, арккосинуса и т. п.[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, означает множество углов , синус которых равен . Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии все решения уравнения можно представить в виде [3]


Основное соотношение[ | ]

Функция arcsin[ | ]

График функции

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

  • при
  • при
  • (область определения),
  • (область значений).

Свойства функции arcsin[ | ]

  • (функция является нечётной).
  • при .
  • при
  • при

Получение функции arcsin[ | ]

Дана функция . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок , на котором функция строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке существует обратная функция , график которой симметричен графику функции относительно прямой .

Функция arccos[ | ]

График функции

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

  • при
  • при
  • (область определения),
  • (область значений).

Свойства функции arccos[ | ]

  • Функция центрально-симметрична относительно точки является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
  • при
  • при

Получение функции arccos[ | ]

Дана функция . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок , на котором функция строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке существует обратная функция , график которой симметричен графику функции относительно прямой .

Функция arctg[ | ]

График функции

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла выраженное в радианах, для которого

Функция определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

  • при
  • при
  • (область определения),
  • (область значений).

Свойства функции arctg[ | ]

  • (функция является нечётной).
  • , где  — обратный гиперболический тангенс, ареатангенс.

Получение функции arctg[ | ]

Дана функция . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал , на котором функция строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале существует обратная функция , график которой симметричен графику функции относительно прямой .

Функция arcctg[ | ]

График функции

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого

Функция определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

  • при
  • при

Свойства функции arcctg[ | ]

  • График функции центрально-симметричен относительно точки Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
  • при любых

Получение функции arcctg[ | ]

Дана функция . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал , на котором функция строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале существует обратная функция , график которой симметричен графику функции относительно прямой .

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, ) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы

Функция arcsec[ | ]

График функции

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

  • при
  • при
  • (область определения),
  • (область значений).

Свойства функции arcsec[ | ]

  • График функции центрально-симметричен относительно точки Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
  • при любых

Функция arccosec[ | ]

График функции

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

  • при
  • при
  • (область определения),
  • (область значений).

Свойства функции arccosec[ | ]

  • (функция является нечётной).

Разложение в ряды[ | ]

  • для всех [4]
  • для всех
  • для всех

Производные от обратных тригонометрических функций[ | ]

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

производные обратных тригонометрических функций
Функция Производная Примечание

Интегралы от обратных тригонометрических функций[ | ]

Неопределённые интегралы[ | ]

Для действительных и комплексных x:

Для действительных x ≥ 1:

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии[ | ]

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол. Так, если катет длины является противолежащим для угла , то

Связь с натуральным логарифмом[ | ]

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 211. — ISBN 978-5-382-00839-4.
  2. Здесь знак −1 определяет функцию x = f−1 (y), обратную функции y = f (x)
  3. Энциклопедический словарь, 1985, с. 220.
  4. При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой где

Ссылки[ | ]