ADE-классификация

Однониточные диаграммы Дынкина классифицируют различные математические объекты.

-классификация — полный список однониточных диаграмм Дынкина — диаграмм, в которых отсутствуют кратные рёбра, что соответствует простым корням в системе корней, образующим углы (отсутствие ребра между вершинами) или (одиночное ребро между вершинами). Список состоит из:

.

Список содержит два из четырёх семейств диаграмм Дынкина (не входят и ) и три из пяти исключительных диаграмм Дынкина (не входят и ).

Список не является избыточным, если принять для . Если расширить семейства, то получаются исключительные изоморфизмы[en]

и соответствующие изоморфизмы классифицируемых объектов.

Вопрос о создании общего начала такой классификации (а не выявление параллелей опытным путём) был поставлен Арнольдом в докладе «Проблемы современной математики»[1].

Классы , , включают также однониточные конечные группы Коксетера с теми же диаграммами — в этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Коксетера, поскольку нет кратных рёбер.


Алгебры Ли[ | ]

В терминах комплексных полупростых алгебр Ли:

В терминах компактных алгебр Ли[en] и соответствующих однониточных групп Ли:

Бинарные полиэдральные группы[ | ]

Та же самая классификация подходит для дискретных подгрупп , бинарной полиэдральной группы[en]. По сути, бинарные полиэдральные группы соответствуют однониточным аффинным диаграммам Дынкина , и задания этих групп можно понять в терминах этих диаграмм. Эта связь известна как соответствие Маккея[en] (в честь Джона Маккея[en]). Связь с правильными многогранниками описана в книге Диксона «Algebraic Theories» [2]. Соответствие использует построение графов Маккея[en].

При этом -соответствие не является соответствием правильных многогранников их группам отражений[en]. Например, в -соответствии тетраэдр, куб/октаэдр и додекаэдр/икосаэдр соответствуют , в то время как группы отражений тетраэдра, куба и октаэдра, додекаэдра и икосаэдра являются заданиями групп Коксетера и

Орбиобразие , построенное с помощью всех дискретных подгрупп, приводит к сингулярности типа в начале координат, которая называется дювалевской особенностью[en].

Соответствие Маккея можно распространить и на многониточные диаграммы Дынкина при использовании пары бинарных полиэдральных групп. Это соответствие известно как соответствие Слодови (по имени немецкого математика Петера Слодови[en])[3].

Помеченные графы[ | ]

-графы и расширенные (аффинные) -графы можно описать в терминах маркировки некоторыми свойствами[4], которые можно сформулировать в терминах дискретных операторов Лапласа [5] или матриц Картана. Доказательства в терминах матриц Картана можно найти в книге Каца «Infinite dimensional Lie algebras» [6].

Аффинные -графы — это графы, допускающие позитивную маркировку (когда вершины помечаются положительными вещественными числами) со следующими свойствами:

Любая метка является полусуммой смежных вершин.

То есть существуют принимающие лишь положительные значения функции с собственным значением 1 дискретного лапласиана (сумма смежных вершин минус значение в вершине) — положительное решение однородного уравнения:

.

Эквивалентно, положительные функции в ядре . Результирующая нумерация является единственной с точностью до постоянного множителя, а с нормализацией, при которой минимальное число равно 1, состоит из малых целых чисел — от 1 до 6, которые зависят от графа.

Обычные -графы — это только графы, допускающие положительную маркировку со следующими свойствами:

Любая метка равна полусумме смежных вершин плюс единица.

В терминах лапласианов это положительное решение однородного уравнения:

.

Результирующая нумерация является единственной (с точностью до постоянного множителя, значение которого определяется числом «2») и состоит из целых чисел. Для эти числа лежат в пределах от 58 до 270[7].

Другие классификации[ | ]

Элементарные катастрофы также классифицируются с помощью -классификации.

Диаграммы являются в точности колчанами конечного типа вследствие теоремы Габриэля[en].

Существует также связь с обобщёнными четырёхугольниками, так как три невырожденных обобщённых четырёхугольника с тремя точками на каждой прямой соответствуют исключительным корням систем , и =[8]. Классы и соответствуют вырожденным случаям, где множество прямых пусто или все прямые проходят через одну точку, соответственно[9].

Существует глубокая связь между этими объектами, скрытыми за этой классификацией, и некоторые из этих связей можно понять через теорию струн и квантовую механику[уточнить].

Троицы[ | ]

Арнольд предложил много других связей под рубрикой «математические троицы»[10][11], а Маккей расширил эти соответствия. Арнольд использовал термин «троицы» с намёком на религию и предположил, что (в настоящее время) эти параллели скорее ближе к вере, чем к строгим доказательствам, хотя некоторые параллели хорошо проработаны. Далее троицы были подхвачены и другими авторами[12][13][14]. Троицы Арнольда начинаются с (вещественные числа, комплексные числа и кватернионы), которые, как он заметил, «все знают», и продолжены другими троицами, такими как «комплесизация» и «кватернизация» классических (вещественных) математических объектов по аналогии с поисками симплектических аналогий римановой геометрии, которые он предложил до этого в 1970-х годах. Кроме примеров из дифференциальной топологии (таких как характеристические классы), Арнольд рассматривает три симметрии правильных многогранников (тетраэдральная, октаэдральная, икосаэдральная) как соответствующие вещественным числам, комплексным числам и кватернионам, которые связаны с дальнейшими алгебраическими соответствиями Маккея.

Проще всего поддаются описанию соответствия Маккея[en]. Во-первых, расширенные диаграммы Дынкина (соответствующие тетраэдральной, октаэдральной и икосаэдральной симметрий) имеют группы симметрии , соответственно, и ассоциированные свёртки — диаграммы (при менее аккуратной записи признак расширения — тильда — часто опускается). Что более существенно, Маккей предположил соответствие между вершинами диаграмм и некоторыми классами смежности монстра, что известно как замечание Маккея о [15][16]. Маккей далее соотносит вершины с классами смежности в (раширение порядка 2 группы Бэби-Монстр[en]), а вершины с классами смежности в (расширение порядка 3 группы Фишера)[16]. Это три самые большие спорадические группы, притом порядок расширения соответствует симметриям диаграммы.

Если перейти от больших простых групп к малым, группы, соответствующие правильным многогранникам, и имеют связь с проективными специальными группами , и (порядка 60, 168 и 660)[17][13]. Эти группы являются единственными (простыми) группами со значением , таким, что действует нетривиально на точек, факт, который восходит к работам Эвариста Галуа 1830-х годов. Фактически, группы разлагаются на произведение множеств (но не произведение групп) следующим образом: и Эти группы связаны также с различными геометриями (начиная с работ Феликса Клейна 1870-х годов)[18]. Ассоциированные геометрии (мозаики на римановых поверхностях), в которых можно видеть действие на точек, следующие: является группой симметрий икосаэдра (род 0) на соединении пяти тетраэдров как 5-элементном множестве, является группой симметрий квартики Клейна[en] (род 3) на вложенной плоскости Фано как 7-элементном множестве (двойная плоскость порядка 2) и является группой симметрий поверхности бакминстерфуллерена (род 70) на вложенной двойной плоскости Палея[en] как 11-элементном множестве (двойная плоскость порядка 3)[19]. Из перечисленных икосаэдры известны ещё с древности, квартики Клейна были введены Клейном в 1870-х годах, а бакибо́л-поверхности введены Пабло Мартином и Сигерманом в 2008 году.

Маккей связывает также , и соответственно с 27 прямыми на кубической поверхности[en], 28 двойными касательными квартики[en] и 120 трижды касательными плоскостями канонической кривой шестого порядка с родом 4[20][21].

См. также[ | ]

Примечание[ | ]

  1. Arnold, 1976.
  2. Dickson, 1959.
  3. Stekolshchik, 2008.
  4. Proctor, 1993, с. 937–941.
  5. Proctor, 1993, с. 940.
  6. Kac, 1990, с. 47–54.
  7. Бурбаки, 1972.
  8. Cameron, Goethals, Seidel, Shult, 1976, с. 305—327.
  9. Chris, Royle, 2001.
  10. Владимир Арнольд, 1997, Лекции в Тороното, Lecture 2: Symplectization, Complexification and Mathematical Trinities, June 1997 (last updated August, 1998). TeX, PostScript, PDF
  11. Polymathematics: is mathematics a single science or a set of arts? На сервере с 10/03/99, Abstract, TeX, PostScript, PDF; см. таблицу на стр. 8
  12. Les trinités remarquables, Frédéric Chapoton  (фр.)
  13. 1 2 le Bruyn, 2008.
  14. le Bruyn, 2008—2.
  15. Duncan, 2009.
  16. 1 2 le Bruyn, 2009.
  17. Kostant, 1995, с. 959–968.
  18. Kostant, 1995.
  19. Martin, Singerman, 17/04/2008.
  20. Arnold 1997, стр. 13
  21. McKay, Sebbar, 2007, с. 373–386.

Литература[ | ]

  • Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. — Москва: «Мир», 1972. — (Элементы математики).
  • Vladimir Arnold. Mathematical developments arising from Hilbert problems / Felix E. Browder. — American Mathematical Society, 1976. — Т. 28. — (Proceedings of symposia in pure mathematics). (Problem VIII. The A-D-E classifications).
  • Leonard E. Dickson. XIII: Groups of the Regular Solids; Quintic Equations // Algebraic Theories. — New York: Dover Publications, 1959.
  • P.J. Cameron, J.M. Goethals, J.J. Seidel, E. E. Shult. Line graphs, root systems and elliptic geometry // Journal of Algebra. — 1976. — Вып. 43.
  • Pablo Martin, David Singerman. From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball. — 17/04/2008.
  • John F. Duncan. Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay / John Harnad, Pavel Winternitz. — Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2009. — Т. 47. — (CRM Proceedings & lecture notes). — ISBN 978-08218-4481-6.
  • Bertram Kostant. The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois. — Notices Amer. Math. Soc.. — 1995. — Т. 42. См. The Embedding of PSl(2, 5) into PSl(2, 11) and Galois’ Letter to Chevalier.
  • Lieven le Bruyn. Galois’ last letter. — 2008. Архивировано 15 августа 2010 года.
  • Michiel Hazewinkel, Hesseling, JD. Siersma, F. Veldkamp. The ubiquity of Coxeter Dynkin diagrams. (An introduction of the A-D-E problem) // Nieuw Archief v. Wiskunde. — 1977. — Т. 35, вып. 3. — С. 257–307.
  • John McKay. Graphs, singularities and finite groups // Proc. Symp. Pure Math.. — Amer. Math. Soc., 1980. — Т. 37. — С. 183-,265-.
  • John McKay. The Geometric Vein, Coxeter Festschrift. — Berlin, 1982. — С. 549–.
  • Victor G. Kac. Infinite-Dimensional Lie Algebras. — 3rd. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990. — ISBN 0-521-46693-8.
  • John McKay. A Rapid Introduction to ADE Theory. — 01/01/2001.
  • R. A. Proctor. Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications // The American Mathematical Monthly. — 1993. — Т. 100, вып. 10. — ISSN 0002-9890. — doi:10.2307/2324217.
  • J. McKay, Abdellah Sebbar. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry, II. — Springer, 2007. — doi:10.1007/978-3-540-30308-4_10.
  • R. Stekolshchik. Notes on Coxeter Transformations and the McKay Correspondence. — 2008. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-77398-6. — doi:10.1007/978-3-540-77398-3.
  • Godsil Chris, Gordon Royle. Algebraic Graph Theory. — New York: Springer, 2001. — Т. 207. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-95241-1. Chapter 12
  • Lieven le Bruyn. Arnold’s trinities. — 2008—2.
  • Lieven le Bruyn. Arnold’s trinities version 2.0. — 2008—3.
  • Lieven le Bruyn. the monster graph and McKay’s observation. — 2009. Архивировано 14 августа 2010 года.
  • Joris van Hoboken. Platonic solids, binary polyhedral groups, Kleinian singularities and Lie algebras of type A,D,E. — 2002. Архивировано 26 апреля 2012 года.

Ссылки[ | ]