ABC гипотеза

abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году[1] и Джозефом Эстерле в 1988 году[2].

Доказательство abc-гипотезы долгое время было одной из главных нерешённых проблем теории чисел; статус этой проблемы в настоящее время спорный.


Формулировка[ | ]

Для любого существует постоянная , при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел , и , таких, что , выполняется неравенство

где  — радикал целого числа.

Замечания[ | ]

  • Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа , и . Тогда неравенство сводится к следующему:
  • Условие необходимо. Для любого существует тройка взаимно простых чисел таких, что . Например тройка вида , где .

Следствия[ | ]

Гипотеза Била и Великая теорема Ферма[ | ]

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших , а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней[3].

Гипотезы Пиллаи и Каталана[ | ]

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.

Доказательство Мотидзуки[ | ]

В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу[4][5]. Предложенное им доказательство оказалось исключительно сложным даже с точки зрения математиков-специалистов[6].

Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы[7]. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах[8]. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки[9].

Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств[9][10] (в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки).

В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с abc-гипотезой и работами Мотидзуки, — объявили, что в ключевом для доказательства abc-гипотезы месте теории Мотидзуки (которое давно вызывало особые трудности у математиков, пытавшихся разобраться в теории) имеется непоправимая ошибка[11][6]. Мотидзуки ответил, что Стикс и Шольце неправильно интерпретировали некоторые ключевые аспекты его доказательства и поэтому сделали недопустимые упрощения[12].

На начало 2019 года доказательство Мотидзуки всё ещё пребывает в неопределённом статусе.

Несколько новых семинаров по IUTT[13] пройдут в 2020—2021 годах. Первый из них начнётся 18-22 мая 2020 года[14].

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. D. W. Masser. Open problems (англ.) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / W. W. L. Chen. — London: Imperial College, 1985. — Vol. 25.
  2. J. Oesterlé. Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (фр.) // Séminaire N. Bourbaki. — 1988. — Vol. 694. — P. 165–186. — ISSN 0303-1179.
  3. R. Daniel Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS. — 1985. — Vol. 44, no. 11. — P. 1436—1437.
  4. Японский математик заявил о доказательстве АВС-гипотезы, Lenta.ru (11 сентября 2012). Дата обращения 11 сентября 2012.
  5. Mochizuki, Shinichi (August 2012). Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters, Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation, Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice., Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations, доступны на странице http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html
  6. 1 2 David Michael Roberts. A Crisis of Identification // Inference. — 2019. — Vol. 4, no. 3.
  7. IUTeich Verification Report 2013-12, IUTeich Verification Report 2014-12
  8. «Японский Перельман» согласился объяснить главнейшую тайну математики. // Lenta.ru, 2015-10-08
  9. 1 2 Timothy Revell. Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page ‘summary’. New Scientist (7 сентября 2017). Дата обращения 8 декабря 2017.
  10. Caroline Chen. The Paradox of the Proof (4 мая 2013). Дата обращения 6 сентября 2016. Перевод: Даниил Басманов. Парадокс доказательства (17 июня 2013). Дата обращения 6 сентября 2016.
  11. Klarreich, Erica. Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture, Quanta (20 сентября 2018). Дата обращения 21 сентября 2018. Перевод: Титаны от математики схлестнулись над эпичным доказательством abc-гипотезы
  12. Mochizuki, Shinichi Report on Discussions, Held during the Period March 15 – 20, 2018, Concerning Inter-Universal Teichmüller Theory. Дата обращения 18 января 2019.
    Mochizuki, Shinichi Comments on the manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory. Дата обращения 18 января 2019.
    Mochizuki, Shinichi Comments on the manuscript (2018-08 version) by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory. Дата обращения 18 января 2019.
  13. Синъити Мотидзуки называет свою теорию англ. Inter-universal Teichmuller Theory: дословно «Интеруниверсальная теория Тайхмюллера», также встречается «арифметическая теория пространств Тейхмюллера»
  14. Mochizuki, Shinichi New Workshops on IUTT. Дата обращения 1 февраля 2019.

Ссылки[ | ]

Литература[ | ]