0

0
ноль
← -2 · -1 · 0 · 1 · 2 
Двоичное 0
Восьмеричное 0
Шестнадцатеричное 0
Commons-logo.svg Медиафайлы на Викискладе
  • «Существуют две формы: ноль и нуль. В терминологическом значении (особенно в косвенных падежах) обычно используется вторая, например: равняется нулю, температура держится на нуле»[1].
  • «…производное прилагательное обычно образуется от формы нуль, например: нулевой меридиан, нулевая отметка»[1].

Ноль (0, нуль от лат. nullus — никакой[2]) — целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее[3], то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль[4].

Большой толковый словарь Кузнецова (2009)[5] приводит обе формы слова: ноль, нуль — как равнозначные, хотя имеется некоторое различие в употреблении. В частности, форма нуль чаще используется в терминологии, особенно в косвенных падежах, она же берётся как основа для образования прилагательного нулевой — соответственно, форма ноль чаще употребляется в именительном падеже (см. врезку).

Нуль играет исключительно важную роль в математике и физике[6].


Ноль в математике[ | ]

Принадлежность к натуральным числам[ | ]

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам[7], другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль[8].

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения[9]:

  • — натуральные числа, включая ноль: .
  • — натуральные числа без нуля: .

В русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается, например, и т. д.[8]

Ноль как цифра[ | ]

Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи Придание нулю статуса полноценного числа происходит постепенно в начале Нового времени.

Основные свойства нуля[ | ]

Отрицательные числа (красным) на числовой оси
  • Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число: .
  • Ноль не имеет знака. Могут использоваться условные обозначения отрицательной и положительной бесконечно малой величины: , , однако это не числа в обычном смысле.
  • Любое число при сложении с нулём не меняется: При вычитании нуля из любого числа получается то же число[10]: .
  • Умножение любого числа на ноль даёт ноль[10]:
  • При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:
при

Деление на ноль[ | ]

В самом деле, если обозначить , то по определению деления формально должно быть , в то время как выражение , при любом , равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.

Значения отдельных функций[ | ]

  • Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: .
Связано это с тем, что функция двух переменных в точке имеет неустранимый разрыв.
В самом деле, вдоль положительного направления оси где она равна единице, а вдоль положительного направления оси где она равна нулю. См. подробнее статью Ноль в нулевой степени.
  • Факториал нуля, по соглашению, принят равным единице: .

Ноль в геометрии[ | ]

  • Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
  • Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат.
  • Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства вновь именуется началом координат, если все её координаты нулевые.
  • Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
  • На окружности расположения 0° и 360° совпадают.

Ноль в математическом анализе[ | ]

  • При вычислении предела отношения , где и , возникает ситуация, когда непосредственная подстановка даёт выражение , значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: , , , .
  • Также возможна вполне определённая ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:
  • Правый предел: _ или _ .
  • Левый предел: _ или _ .

Обобщения (ноль в общей алгебре)[ | ]

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера является нулевым элементом кольца квадратных матриц . Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен, .

История использования нуля[ | ]

История цифры 0[ | ]

Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной в Индии и шестидесятиричной в Вавилоне.

Древний Восток[ | ]

Вавилонские математики использовали особый клинописный значок для шестидесятеричного нуля, начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не означал «число 0»[14].

Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления обозначалось буквой Ρ, в Римской - буквой C, в китайской - иероглифом 百.

Майя и инки[ | ]

Пустая раковина — знак нуля в системе счисления майя

Майя использовали ноль в своей двадцатеричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев. Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль 8 декабря 36 года до н. э..

Любопытно, что тем же самым знаком математики майя обозначали и бесконечность, так как этот знак означал не ноль в европейском понимании слова, а «начало», «причину»[15]. Счёт дней месяца в календаре майя начинался с нулевого дня, который назывался Ахау.

В империи инков Тауантинсуйу для записи числовой информации использовалась узелковая система кипу, основанная на позиционной десятеричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа ноль обозначается словом кечуа ch'usaq (букв. «отсутствующий», «пустой»), однако то, какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) словарях и первом аймара-испанском (Лудовико Бертонио, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».

Индия[ | ]

Впервые цифра «ноль» появилась в Индии, где именовалась санскритским словом «сунья» («пустота»; «отсутствие»), и широко использовался в поэзии и священных текстах. Исследования показали, что манускрипт Бакхшали содержит, вероятно, самое древнее упоминание ноля[16][17]. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый нуля обнаружен в индийской записи от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка.

От индийцев через арабов, называвших цифру 0 «сифр» (отсюда слова «цифра» и лат. zero, ноль), она попала в Западную Европу.[18]

Европа[ | ]

В Вене хранится рукописная арифметика XV века, приобретённая в Константинополе (Стамбуле), в которой употребляются греческие числовые знаки вместе с обозначением нуля точкой[19]. В латинских переводах арабских трактатов XII века знак нуля — 0 называется кружком — circulus. В оказавшем очень большое влияние на преподавание арифметики в западных странах руководстве Сакробоско (Holywood, умер в 1256 году), написанном в 1250 году и перепечатывавшемся в очень многих странах, ноль называется «thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili» — тэта, или тека, или кружок, или цифра, или знак ничего. Термин nulla figura — никакой знак — появляется в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов в XII века. Термин nulla имеется в рукописи Никола Шюке 1484 года и в первой печатной так называемой (по месту издания) Тревизской арифметике (1478)[20].

С начала XVI века слово «ноль» входит в повсеместное употребление в Германии и в других странах, сначала как слово чужое и в латинской грамматической форме, но постепенно оно принимает форму, свойственную данному национальному языку.

Россия[ | ]

Леонтий Магницкий в своей «Арифметике» называет знак 0 «цифрой или ничем» (первая страница текста); на второй странице в таблице, в которой каждой цифре даётся название, 0 называется «низачто». В конце XVIII века во втором русском издании «Сокращения первых оснований математики» X. Вольфа (1791) нуль ещё называется цифрой. В математических рукописях XVII века, употребляющих индийские цифры, 0 называется «оном» вследствие сходства с буквой о[21].

История числа 0[ | ]

Хотя в египетской системе счисления цифра 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали для обозначения числа "нуль" иероглиф нфр («прекрасный»), также означавший начало отсчёта в схемах храмов, пирамид и гробниц[22].

Своеобразные ы нуля использовали ещё до нашей эры древние майя и их соседи в Центральной Америке (древние майя обозначали ноль стилизованным изображением ракушки).

Хотя в китайских записях чисел цифра "нуль" отсутствует, для обозначения числа "нуль" пользуются знаком 〇 — одним из иероглифов императрицы У Цзэтянь.

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. οὐδέν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление цифры "нуль", однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. 1 2 Д. Э. Розенталь. Справочник по правописанию, произношению, литературному редактированию. Глава X. Правописание имен числительных. М.: ЧеРо, 1999.
  2. Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
  3. Нуль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 1082.
  4. НУЛЬ // Большой Энциклопедический словарь. 2000.
  5. Большой толковый словарь русского языка. Гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб.: Норинт, 1998.
  6. Самая важная цифра есть нуль. Это была гениальная идея — сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ.

    Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматлит, 1959. — С. 77.
  7. Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik. The historical roots of elementary mathematics / Lucas Nicolaas Hendrik Bunt, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient. — Courier Dover Publications, 1976. — P. 254–255. — ISBN 0-486-13968-9., Extract of pages 254—255
  8. 1 2 Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. — М.: Наука, 1981. — С. 9. — 560 с.
  9. International standard 80000-2:2009. Part 2. NCSU COE People. Дата обращения 12 августа 2019.
  10. 1 2 Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. — М.: «Педагогика», 1989. — С. 219.
  11. Что такое степень числа // Школьная математика, интернет-ресурс.
  12. Почему число в степени 0 равно 1? // Науколандия, интернет-ресурс.
  13. Степенная функция // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978.
  14. Ламберто Гарсия дель Сид. Особые числа других культур → 116 // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 116. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
  15. Лаура Лауренсич-Минелли. Любопытное понятие мезоамериканского и андского «нуля предметного» и логика инкских богов-чисел. Архивировано 23 июля 2012 года.
  16. Суета вокруг нуля.
  17. Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol (англ.). The Guardian (14 September 2017). Дата обращения 19 сентября 2017.
  18. Ламберто Гарсия дель Сид. Особые числа других культур → 116 // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 115. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
  19. «Zentralblatt für Mathematik», апрель, 1957, сообщение чешского историка математики Г. Феттера.
  20. Депман И. Я. История Арифметики. — изд. «Просвещение», Москва, 1965, стр. 89.
  21. Депман И. Я. История Арифметики. — изд. «Просвещение», Москва, 1965, стр.90
  22. Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Third Edition). — Princeton University Press, 2011. — P. 86. — ISBN 978-0-691-13526-7.

Литература[ | ]

Ссылки[ | ]