Ядро (алгебра)

Ядро в алгебре — характеристика отображения ${\displaystyle \ f:A\rightarrow B}$, обозначаемая ${\displaystyle \ker \,f}$, отражающая отличие ${\displaystyle f}$ от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента ${\displaystyle e}$. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения ${\displaystyle f}$ множество ${\displaystyle \ker \,f}$ всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из ${\displaystyle A}$).

Если множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то ${\displaystyle \ker \,f}$ также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f}$ и фактормножество ${\displaystyle A/\ker \,f}$.

Ядро линейного отображения[ | ]

Ядром линейного отображения ${\displaystyle f:\,V\to U}$ называется прообраз нулевого элемента пространства ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle \ker f=\{x\in V:f(x)=0\}.}$

${\displaystyle \ker f}$ является подпространством в ${\displaystyle V}$. Оно всегда содержит нулевой элемент пространства ${\displaystyle V}$. Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ ${\displaystyle f}$ изоморфен факторпространству ${\displaystyle V}$ по ядру ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \mathrm {Im} \,f\simeq V/\ker f.}$

Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность ${\displaystyle V}$ конечна:

${\displaystyle \dim \mathrm {Im} \,f=\dim V-\dim \ker f,}$

а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:

${\displaystyle f^{-1}(u)=v_{0}+\ker f,~~~f(v_{0})=u,~~~v_{0}\in V,~u\in U.}$

Всякий базис ядра называется фундаментальной системой решений.

Теория матриц[ | ]

Любую прямоугольную матрицу ${\displaystyle G}$ размера ${\displaystyle m\times n}$, содержащую элементы поля ${\displaystyle K}$ (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор ${\displaystyle g:\mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{m}}$ умножения векторов слева на матрицу:

${\displaystyle g(v)=Gv,~~~v\in \mathbb {K} ^{n}}$

Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с ${\displaystyle n}$ неизвестными

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1};\\\ldots ~~\ldots ~~\ldots ~~\\a_{m1}x_{1}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}\right.}$

можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\;\ldots ,\;b_{m})}$, а задача о решении однородной системы уравнений (${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }$) сводится к поиску ядра отображения ${\displaystyle g}$.

Пример[ | ]

Пусть ${\displaystyle f}$ будет линейным отображением ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ и:

${\displaystyle f({\vec {x}})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}.}$

Тогда его ядро является векторным подпространством:

${\displaystyle \ker f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid \lambda \in \mathbb {R} \right\}.}$

Гомоморфизм групп[ | ]

Если ${\displaystyle f}$ — гомоморфизм между группами, то ${\displaystyle \ker f}$ образует нормальную подгруппу ${\displaystyle A}$.

Гомоморфизм колец[ | ]

Если ${\displaystyle f}$ — гомоморфизм между кольцами, то ${\displaystyle \ker f}$ образует идеал кольца ${\displaystyle A}$.

См. также[ | ]

• Коядро

Литература[ | ]

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.