Шар (стереометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Шар (значения).
Шар
Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.


Связанные определения[ | ]

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы[ | ]

Площадь поверхности и объём шара радиуса (и диаметром ) определяются формулами:

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения[ | ]

Пусть дано метрическое пространство . Тогда

  • Шаром (или открытым шаром) с центром в точке и радиусом называется множество
  • Замкнутым шаром с центром в и радиусом называется множество

Замечания[ | ]

Шар радиуса с центром также называют -окрестностью точки .

Свойства[ | ]

Объём[ | ]

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:[1]

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

,
.

Знаком !! здесь обозначен двойной факториал.

Эти формулы также можно свести в одну общую:

.

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

.

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

,
.

Рекурсия[ | ]

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

.

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

.

То же без гамма-функции:

Пространства младших размерностей[ | ]

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений Объём шара радиуса R Радиус шара объёма V
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Пространства старших размерностей[ | ]

Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

Примеры[ | ]

  • если (пространство — прямая), то
 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.
  • если (пространство — плоскость), то
 — открытый и замкнутый диск соответственно.
  • если , то
 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.
  • В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве метрику следующим образом:
Тогда
  • если , то  — это открытый квадрат с центром в точке и сторонами длины , расположенными по диагонали к координатным осям.
  • если , то  — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

Литература[ | ]

Ссылки на онлайн калькуляторы[ | ]