Центр группы

Таблица Кэли Dih4
Центром является {0,7} — строка, начинающаяся с 7 является транспонированием столбца, начинающегося с 7, и элементы строки и столбца симметричны относительно диагонали. (Только для нейтрального элемента это возможно во всех группах.)

Центр группы в теории групп — множество элементов данной группы, которые коммутируют со всеми её элементами:

[1]).

Группа является абелевой в том и только в том случае, когда её центр совпадает с ней: ; в этом смысле центр группы может быть рассмотрен как мера её «абелевости»(коммутативности). Говорят, что группа не имеет центра, если центр группы тривиален, то есть состоит только из нейтрального элемента.

Элементы центра иногда называют центральными элементами группы.


Подгрупповые свойства[ | ]

Центр группы всегда является её подгруппой: всегда содержит нейтральный элемент (так как он коммутирует с любым элементом группы по определению), замкнут относительно групповой операции и вместе с входящими элементами содержит их обращения.

Центр группы G всегда является нормальной подгруппой G, поскольку он замкнут относительно сопряжения. Более того, центр группы — характеристическая подгруппа, но при этом — не вполне характеристическая подгруппа[en].

Факторгруппа изоморфна группе внутренних автоморфизмов группы .

Классы сопряжённости и централизаторы[ | ]

По определению, центр группы — это множество элементов, для которых классом сопряжённости каждого элемента является сам элемент.

Центр является также пересечением всех централизаторов всех элементов группы G.

Смежность[ | ]

Ядро отображения , ставящего в соответствие элементу группы автоморфизм, заданный формулой:

,

является в точности центром группы G, а образ отображения f называется внутренним автоморфизмом группы G, который обозначается ; по первой теореме об изоморфизме имеет место:

.

Коядром отображения f является группа внешних автоморфизмов[en]; таким образом, имеет место точная последовательность:

.

Примеры[ | ]

Центральные ряды[ | ]

Факторизация по центрам групп порождает последовательность групп, которая называется верхним центральным рядом[en]:

Ядро отображения  — это i-й центр группы G (второй центр, третий центр, и так далее), и они обозначаются . Конкретно, -й центр — это элементы, которые коммутируют со всеми элементами i-го центра. При этом можно определить нулевой центр группы как подгруппу из единицы. Верхний центральный ряд можно продолжить на трансфинитные числа с помощью трансфинитной индукции. Объединение всех центров ряда называется гиперцентром[en][2].

Возрастающая последовательность подгрупп:

стабилизируется на (что означает, ) тогда и только тогда, когда не имеет центра.

Примеры[ | ]

  • Для группы без центра все центры ряда нулевые, что происходит в случае .
  • По лемме Грюна[en] факторгруппа группы, совпадающей со своим коммутантом[en], по её центру не имеет центра, поскольку все центры более высокого порядка равны центру. Это случай стабилизации .

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. Обозначение Z пришло от нем. Zentrum
  2. Это объединение включает трансфинитные элементы, если ряд верхних центров не стабилизируется за конечное число итераций.

Ссылки[ | ]

  • Michiel Hazewinkel. Centre of a group, Encyclopedia of Mathematics. — Springer, 2011. — ISBN 978-1-55608-010-4.
  • И. М. Виноградов. Центр // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
  • Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.