Функция (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. функция.
Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
График функции
.

Фу́нкция (отображе́ние, опера́тор, преобразова́ние) — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так, значение переменной однозначно определяет значение выражения , также значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца. Другой пример функции: каждому человеку можно однозначно поставить в соответствие его биологическую мать.

Аналогично, задуманный заранее алгоритм по значению входного данного выдаёт значение выходного данного.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.


История[ | ]

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному[1][2].

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год)[3].

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение[2].

Определения[ | ]

Функция, сопоставляющая каждой из четырёх фигур её цвет.

Наиболее строгим является теоретико-множественное определение функции (на основе понятия бинарного отношения). Часто вместо определения функции даётся понятие функции, то есть описание математического объекта с помощью понятий обычного языка, таких как «закон», «правило» или «соответствие».

Понятие функции[ | ]

Говорят, что на множестве имеется функция (отображение, операция, оператор) со значениями из множества , если каждому элементу из множества по правилу поставлен в соответствие некоторый элемент из множества [1].

Говорят также, что функция отображает множество в множество . Функцию обозначают также записью .

Если используется термин оператор, то говорят, что оператор действует из множества в множество и добавляют запись .

Если хотят подчеркнуть, что правило соответствия считается известным, то говорят, что на множестве задана функция , принимающая значения из . Если функция должна находиться в результате решения какого-нибудь уравнения, то говорят, что  — неизвестная или неявно заданная функция. Но в любом случае, функция, по смыслу этого понятия, считается заданной, хотя и косвенно.

Заметим, что в формулировке понятия функции требование соответствия «по правилу» является повтором, поскольку оно содержится в понятии однозначного соответствия. Формулировка понятия функции без понятия правило и необходимости его обозначать:

Говорят, что на множестве задана функция , принимающая значения из , если каждому элементу из множества поставлен в соответствие некоторый элемент из множества [4].

Например, функция может быть задана таблицей пар элементов и , которая и есть правило соответствия для каждого элемента из . Числовые функции часто задаются формулами, которые позволяют по данному числу однозначно вычислить соответствующее число .

Если каждому элементу из множества по какому-либо правилу ставится в соответствие некоторый элемент из множества , то указанное соответствие называется функцией , заданной на множестве со значениями из [3][5].

Буква в этом обозначении — индивидуальный знак функции.

Итак, функция (или кратко: функция или ) представляет собой тройку объектов: , где

  • множество называется о́бластью задания или областью определения функции;
  • множество называется о́бластью значе́ний функции;
  •  — правило, по которому каждому элементу сопоставляется некоторый элемент . Для правила здесь использовано то же обозначение, что и для функции.

Обозначенный буквой каждый элемент множества называется независимой переменной или аргументом функции. Множество при этом называется областью изменения переменной .

Элемент , соответствующий фиксированному элементу называется частным значением функции в точке .

Совокупность всех частных значений , обозначаемая символом , называется множеством значений функции.

Теоретико-множественное определение[ | ]

Понятие множества упорядоченных пар (отношения) позволяет исключить из формулировки понятия функции не только понятие правило, но и понятие соответствие, к которому сводится понятие функции в обычных формулировках предыдущего подраздела.

Таким образом, для функции можно сформулировать определение, использующее только начальные математические понятия:

Функцией называется множество упорядоченных пар , таких, что пары существуют для всех элементов множества , и, если первые элементы пар совпадают, то совпадают и вторые их элементы[1].

При этом:

  • Множество называется областью задания или областью определения функции;
  • множество называется областью значений функции
  • множество всех элементов , для которых существует пара , , называется множеством значений функции;
  • множество упорядоченных пар называется также графиком функции; понятие графика функции и понятие функции при таком определении функции совпадают. При обычной формулировке понятия функции её графиком называется множество пар .

Функции и называются равными, если их графики совпадают[6].

Поскольку равенство функций (в любой формулировке понятия функции) включает в себя не только совпадение правил соответствия между элементами множеств, но и совпадение областей задания, то функции и , где  — множество вещественных чисел, а  — множество положительных вещественных чисел, являются разными функциями.

Более общим, включающим в себя не только однозначные функции, является следующее определение функции:

Функцией называется любое множество упорядоченных пар [1][нет в источнике].

При этом:

  • Множество называется областью отправления функции. Множество всех элементов , для которых существует пара , называется областью задания функции;
  • множество называется областью прибытия функции. Множество всех элементов , для которых существует пара , называется множеством значений функции.

Обозначения функции[ | ]

Если на множестве задана функция , принимающая значения из множества , то

  • этот факт записывают в виде или ;
  • множество  — область задания функции  — обозначается символом или
  • множество  — область значений[3] функции ;
  • множество значений функции обозначается символом или ().
  • Если область значений и множество значений совпадают, то говорят, что отображает множество на .
  • Функция, заданная на множестве , наиболее часто обозначается как соответствие между элементами и :
    , или кратко: или ;
    или ;
  • для сокращения количества различных обозначений в тексте символ, обозначающий функцию, заданную на множестве , часто совпадает с обозначением значения функции в любой точке из :
    , ;
  • функция обозначается и как функция , которая отображает множество в с обозначением соответствия между элементами и :
    или ;
  • реже используется обозначение функции как соответствие между элементами и без скобок: , или ,
  • а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: или ;
  • также существует и операторное обозначение , которое можно встретить в общей алгебре.
  • В лямбда-исчислении Чёрча используется обозначение .

Функции нескольких аргументов[ | ]

График функции двух переменных

Понятие функции легко обобщается на случай функции многих аргументов.

Если множество представляет собой декартово произведение множеств , тогда отображение , где  — множество вещественных чисел, оказывается -местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора называются аргументами (данной -местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

где .

В этом случае запись означает, что .

Способы задания функции[ | ]

Аналитический способ[ | ]

Функцию можно задать с помощью аналитического выражения (например, формулой). В этом случае её обозначают как соответствие в форме равенства записью где есть переменная, пробегающая область задания функции, а соответствующие значения переменной (или, что то же самое, значения выражения ) принадлежат области значений функции. Например, равенство , где пробегает множество вещественных чисел, задает числовую функцию

Само по себе равенство , без указания что это функция, заданная на некотором множестве, функцией не является.

Например, есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Аналогично, если является другим обозначением переменной , то также есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Если же в равенстве слева стоит обозначение выражения, содержащего переменную , то имеется равенство двух выражений, содержащих одну переменную.

Однако высказывание функция (или функция ) на множестве задания обозначает соответствие элементов двух множеств. Более того, часто функцию (или ) для краткости обозначают как функцию на множестве задания. Это соглашение является удобным и оправданным.

Графический способ[ | ]

График
Основная статья: График функции

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть  — вещественная функция n переменных. Тогда её графиком является множество точек в -мерном пространстве:. Это множество точек часто является поверхностью. В частности при , график функции в некоторых случаях может быть изображён кривой в двумерном пространстве.

Для функций трёх и более аргументов такое графическое представление не применимо. Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвёртой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

Связанные определения[ | ]

Сужение и продолжение функции[ | ]

Пусть дано отображение и .

Отображение , которое принимает на те же значения, что и функция , называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции на множество .

Сужение функции на множество обозначается как .

Если функция такова, что она является сужением для некоторой функции , то функция , в свою очередь, называется продолжением функции на множество .

Образ и прообраз (при отображении), значение в точке[ | ]

Элемент , который сопоставлен элементу , называется образом элемента (точки) (при отображении ), или значением отображения в точке .

Если взять целиком подмножество области задания функции , то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества , а именно подмножество области значений (функции ) вида

,

которое называется образом множества при отображении . Это множество иногда обозначается как или .

Образ всей области определения функции называется образом функции, или, в некоторых случаях, областью значений функции.

Наоборот, взяв некоторое подмножество в области значений функции , можно рассмотреть совокупность тех элементов области задания функции , чьи образы попадают в множество , а именно — множество вида

,

которое называется (полным) прообразом множества (при отображении ).

В том частном случае, когда множество состоит из одного элемента, скажем, , множество имеет более простое обозначение .

Тождественное отображение[ | ]

Отображения, у которых совпадают область задания и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями.

В частности, преобразование , которое сопоставляет каждой точке множества её саму или, что то же самое,

для каждого , называется тождественным.

Это отображение имеет специальное обозначение: или, проще, (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичность, тождественность»).

Другое обозначение тождественного преобразования — . Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве . Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным.

Композиция отображений[ | ]

Основная статья: Композиция функций

Пусть и  — два отображения, таких, что область значений первого отображения является подмножеством области задания второго отображения. Тогда для всякого однозначно определяется элемент такой, что , но для этого самого однозначно определяется элемент такой, что . То есть, для всякого однозначно определяется элемент такой, что . Другими словами, задано отображение такое, что

для всякого .

Это отображение называется композицией отображений и , оно обозначается выражением (именно в таком порядке!), которое читается после .

Обратное отображение[ | ]

Основная статья: Обратная функция

Если отображение является взаимно однозначным или биективным (см. ниже), то существует отображение , у которого

  • область задания (множество ) совпадает с областью значений отображения  ;
  • область значений (множество ) совпадает с областью задания отображения ;
  • тогда и только тогда, когда .

Отображение называется обратным по отношению к отображению .

Отображение, у которого существует обратное, называется обратимым.

В терминах композиции отображений, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: и .

Свойства[ | ]

Свойства образов и прообразов[ | ]

Свойства образов[ | ]

Пусть и  — подмножества области задания функции . Тогда образы множеств и , при отображении , обладают следующими свойствами:

  • ;
  • ;
  • .
  • образ объединения множеств равен объединению образов: ;
  • образ пересечения множеств является подмножеством пересечения образов .

Последние два свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Свойства прообразов[ | ]

Положим, и  — подмножества множества .

Прообразы множеств и , при отображении , обладает следующими двумя очевидными свойствами:

  • прообраз объединения равен объединению прообразов: ;
  • прообраз пересечения равен пересечению прообразов .

Данные свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Если отображение обратимо (см. ниже), прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:

  • образ пересечения равен пересечению образов: .

Поведение функций[ | ]

Сюръективность[ | ]

Основная статья: Сюръекция

Функция называется сюръективной (или, коротко,  — сюръекция), если каждому элементу множества может быть сопоставлен хотя бы один элемент множества . То есть, функция сюръективна, если образ множества при отображении совпадает с множеством : .

Такое отображение называется ещё отображением множества на множество .

Другими словами, при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент не имел прообраза.

Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением множества в множество .

Инъективность[ | ]

Основная статья: Инъекция

Функция называется инъективной (или, коротко,  — инъекция), если любым двум разным элементам из множества сопоставляются разные элементы из множества . Более формально, функция инъективна, если для любых двух элементов таких, что , следует, что .

Другими словами, при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов из множества отображались в один и тот же элемент из .

Биективность[ | ]

Основная статья: Биекция

Если функция является и сюръективной, и инъективной, то такую функцию называют биективной или взаимно однозначной.

Возрастание и убывание[ | ]

Основная статья: Монотонная функция

Пусть дана функция Тогда

  • функция называется неубывающей на , если
  • функция называется возраста́ющей на , если
  • функция называется невозраста́ющей на , если
  • функция называется убыва́ющей на , если

Невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными.

Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Периодичность[ | ]

Основная статья: Периодическая функция

Функция называется периодической с пери́одом , если выполняется равенство

.

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой.

Чётность[ | ]

  • Функция называется нечётной, если справедливо равенство
  • Функция называется чётной, если справедливо равенство

Экстремумы функции[ | ]

Основная статья: Экстремум

Пусть задана функция и  — внутренняя точка области задания Тогда

  • называется точкой локального максимума, если существует окрестность точки такая, что
  • называется точкой локального минимума, если существует окрестность точки такая, что

Свойства множеств и функций[ | ]

В зависимости от того, какова природа области задания и области значений, различают следующие случаи областей:

  1. абстрактные множества — множества без какой-либо дополнительной структуры;
  2. множества, которые наделены некоторой структурой.

В случае 1 рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом, например, является вопрос о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то два данных множества называют эквивалентными или равномощными. Это позволяет провести классификацию множеств в виде единой шкалы, начальный фрагмент выглядит следующим образом:

В соответствии с этим, имеет смысл рассматривать следующие примеры отображений:

  • конечные функции — отображения конечных множеств;
  • последовательности — отображение счётного множества в произвольное множество;
  • континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

В случае 2, основной объект рассмотрения — заданная на множестве структура (дополнительные свойства элементов множества) и то, что происходит с этой структурой при отображении: если при взаимно однозначном отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до изоморфизма».

Существует большое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:

  • структура порядка — частичный или линейный порядок элементов множества;
  • алгебраическая структура — группоид, полугруппа, группа, кольцо, тело, область целостности или поле, заданные на элементах множества;
  • структура метрического пространства — на элементах множества задаётся функция расстояния;
  • структура евклидового пространства — на элементах множества задаётся скалярное произведение;
  • структура топологического пространства — на множестве задаётся совокупность «открытых множеств»;
  • структура измеримого пространства — на множестве задаётся сигма-алгебра подмножеств исходного множества (например, посредством задания меры с данной сигма-алгеброй в качестве области задания функции)

Функции с конкретным свойством могут не существовать на множествах, не обладающих соответствующей структурой. Например, формулировка свойства непрерывности функции, заданной на множестве, требует задания на этом множестве топологической структуры.

Обобщения[ | ]

Частично определённые функции[ | ]

Частично определённая функция из множества в множество есть функция с областью задания .

Некоторые авторы понимают под функцией частично определённую функцию. Это имеет свои преимущества, например, возможна запись , где в этом случае .

Многозначные функции[ | ]

Основная статья: Многозначная функция

В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. Несмотря на это, нередко можно услышать про так называемые многозначные функции. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

Пусть , где  — семейство подмножеств множества . Тогда будет множеством для всякого .

Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции[7].

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. 1 2 3 4 В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 13, 22, 25, 31. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.
  2. 1 2 Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. — М., Просвещение, 1994. — ISBN 5-09-006088-6. — C. 86-87
  3. 1 2 3 Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 69. — 528 с.
  4. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд. — М.: Наука, 1972. — С. 14—18. — 496 с.
  5. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  6. В. А. Садовничий. Теория операторов. — М.: Дрофа, 2001. — С. 241. — 381 с. — ISBN 5-71-074297-X.
  7. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., 1973 г. Глава 4. Функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. 4.2. Функции. 4.2-2. Функции со специальными свойствами. (а), стр.99.

Литература[ | ]