Функция Хевисайда

Единичная функция Хевисайда. При x = 0 доопределена значением 1.

Фу́нкция Хевиса́йда (едини́чная ступе́нчатая функция, функция едини́чного скачка, включённая едини́ца, «ступенька») — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных[1]. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям[⇨], например:

Функцию Хевисайда легко записать, используя скобку Айверсона:

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, , это также можно записать как (определенный интеграл является числом, для описания первообразной используется неопределенный интеграл [2]):


Дискретная форма[ | ]

Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от целого аргумента :

где  — целое число.

Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:

Аналитические формы[ | ]

Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:

где большему соответствует более крутой подъём функции в точке . Задавшись необходимой шириной области перехода функции Хевисайда , значение можно оценить как .

Если принять , уравнение можно записать в предельной форме:

Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:

Запись[ | ]

Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:

θ(0)[ | ]

Значение функции в нуле часто задаётся как , или .  — наиболее употребительный вариант, поскольку по соображениям симметрии в точке разрыва первого рода удобно доопределять функцию средним арифметическим соответствующих односторонних пределов, кроме того в этом случае функция Хевисайда связана с функцией знака:

Значение в нуле может явно указываться в записи функции:

Преобразование Фурье[ | ]

Производная функции Хевисайда равна дельта-функции (то есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции):

.

Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции , получим её изображение вида:

то есть:

(второй член — соответствующий нулевой частоте в разложении — описывает постоянное смещение функции Хевисайда вверх; без него получилась бы нечётная функция).

История[ | ]

Эта функция использовалась ещё до появления её удобного обозначения. Например, Гульельмо Либри[en] в 1830-х годах опубликовал несколько работ[3][4], посвящённых функции . По его мнению, равен 0, если ; 1, если (см. Ноль в нулевой степени); или , если . Таким образом Либри заключает, что равняется 1, если , и 0 в противном случае. Пользуясь нотацией Айверсона, это можно было бы записать, как

Однако такой нотации в то время не было, и Либри считал достижением, что эту функцию можно выразить через стандартные математические операции. Он использовал эту функцию для выражения абсолютной величины (обозначения тогда ещё не было, оно было введено позже Вейерштрассом) и индикатора таких условий, как , и даже « является делителем »[5].

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. В теории автоматического управления и теории операторов Лапласа часто обозначается как . В англоязычной литературе часто обозначают или . См., например,
    • Волков И. К., Канатников А. Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов / Под ред. B. C. Зарубина, А. П. Крищенко. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. — 228 с. — (Математика в техническом университете; Вып. XI). — ISBN 5-7038-1273-9.;
    • Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и тт.; 2-е изд., перераб. и доп. Т. 1: Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — 656 с. — ISBN 5-7038-2189-4 (Т. 1).
  2. Зорич В.А. Математический анализ. Часть I.. — М.:МЦНМО, 2012. — С. 358.
  3. Guillaume Libri. Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
  4. Guillaume Libri. Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303—316.
  5. Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403—422 (arXiv: math/9205211 [math.HO]).