Факторгруппа

Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.

Факторгруппа группы по нормальной подгруппе обычно обозначается .

Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.


Определение[ | ]

Пусть  — группа,  — её нормальная подгруппа и — произвольный элемент. Тогда на классах смежности в

можно ввести умножение:

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если и , то . Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой по .

Свойства[ | ]

Гомоморфный образ группы
До победы коммунизма
Изоморфен факторгруппе
По ядру гомоморфизма.

  • Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма
,
то есть факторгруппа по ядру изоморфна её образу в .

Примеры[ | ]

  • Пусть , , тогда изоморфна .
  • Пусть (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), (группа верхних унитреугольных матриц), тогда изоморфна группе диагональных матриц.
  • Пусть (симметрическая группа), (четверная группа Клейна, состоящая из перестановок e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) тогда изоморфна .
  • Пусть (симметрическая группа), (знакопеременная группа), тогда изоморфна .
  • Пусть (группа кватернионов), (циклическая группа, состоящая из 1, −1), тогда изоморфна .

Вариации и обобщения[ | ]

Примечания[ | ]

Литература[ | ]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.