Унитарное пространство

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с положительно определённым[1][2] эрмитовым скалярным произведением, комплексный аналог евклидова пространства.


Определение[ | ]

Эрмитовым скалярным произведением в векторном пространстве над полем комплексных чисел называется полуторалинейная форма удовлетворяющая дополнительному условию[3]:

  • где квантор всеобщности.

Другими словами, это означает, что функция удовлетворяющая следующим условиям[3]:

  • 1) линейность скалярного произведения по первому аргументу:
и справедливы равенства:

(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально, потому что за счёт условия они равносильны)

  • 2) эрмитовость скалярного произведения:
справедливо равенство
  • 3) положительная определённость скалярного произведения:
и причём только при

Свойства[ | ]

  • Над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией .
  • Полуторалинейная форма является эрмитовой тогда и только тогда[3], когда для всех векторов функция принимает только вещественные значения.

Отличия от евклидова пространства[ | ]

Унитарные пространства обладают всеми свойствами евклидовых пространств, за исключением четырёх отличий:[4]

  1. неравенство Коши — Буняковского:
  2. понятие угла не имеет содержательного смысла;
  3. Матрица Грама системы векторов является эрмитовой

Литература[ | ]

Примечания[ | ]

  1. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. — С. 126.
  2. А. Е. Умнов. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — Москва: МФТИ, 2011. — С. 400.
  3. 1 2 3 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.
  4. Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 51-52