Тригонометрическая сумма

Пример: тригонометрическая сумма над квадратичными вычетами по модулю . Разнонаправленность векторов (изгиб пути из разноцветных линий) делает абсолютное значение суммы (длину жёлтой линии) меньше числа слагаемых. Это общий момент для тригонометрических сумм в целом, а модуль таких сумм при растущем и вовсе имеет порядок .

Тригонометрическая сумма — это конечная сумма комплексных чисел, геометрически соответствующих векторам на единичной окружности, то есть вида

Такие суммы по значениями , образованным из множества чисел или элементов группы, изучаются в аналитической теории чисел. Верхние оценки на них позволяют оценивать число решений уравнений с переменными из рассматриваемых множеств.

Геометрические свойства синусов и косинусов из определения не играют в методе ключевой роли. Формула Эйлера

позволяет интерпретировать слагаемые как степени друг друга и использовать для оценки сумм свойства возведения в степень и геометрических прогрессий.

Когда рационально, слагаемое является корнем из единицы. В современной литературе принято обозначение

Суммы с такими слагаемыми используются для изучения множеств значений по модулю . Они наиболее популярны.

Метод тригонометрических сумм – один из самых мощных и развивающихся в современной теории чисел. Лишь некоторые виды сумм изучены достаточно хорошо, чтобы результаты о них можно было классифицировать, а уровень знаний считать устоявшимся. Для приложений в теории чисел бывает достаточно очень слабых, но нетривиальных оценок той или иной тригонометрической суммы. Часто такие оценки изучаются и просто сами по себе, ввиду общепризнанной важности развития методов их изучения.


Основные свойства[ | ]

Через тригонометрические суммы можно выражать утверждения о равенстве нулю:

  • для любых верно, что[1] ;
  • аналогично, для любого верно, что[2] .

Используя общую структуру абелевых групп, можно получить аналогичные выражения для любой такой группы вместо и .

При выводе оценок часто используют соображения о том, что:

  • произведение и сопряжение (а значит, и чётные степени модулей[3]) тригонометрических сумм также будет тригонометрической суммой – перемножая суммы, по-разному группируя слагаемые и применяя неравенство Гёльдера, можно переходить от одного множества или уравнения к другим, решая ту же задачу;
  • для любых верна[4] тривиальная оценка .

Приложения[ | ]

Число решений уравнений[ | ]

Выражение[ | ]

Для множеств и функции число решений уравнения

можно выразить через тригонометрическую сумму как сумму скобок Айверсона:

Аналогично, для целочисленной и решений допустимо представление

Эти конструкции легко обобщить на системы уравнений[5].

В качестве уравнения может выступать в том числе формула представления числа в виде суммы – типичный объект изучения аддитивной теории чисел[6].

Использование[ | ]

Тригонометрические выражения наиболее полезны когда функция хорошо разлагается на слагаемые. Например, если

то, меняя порядок суммирования, можно получить выражение

Суммы по отдельности друг от друга не имеют комбинаторной интерпретации, но могут быть оценены аналитически. Именно это делает метод тригонометрических сумм нетривиальным.

При все слагаемые вырождаются в , так что эта часть суммы всегда равна и называется главным членом. Поэтому оценки числа решений через тригонометрические суммы чаще всего не могут быть лучше чем . В частности, именно такая величина нужна в доказательстве равномерного распределения. При работе с интегралами роль главного члена среди интервала выполняют окрестности несократимых дробей с малыми знаменателями[7].

Нюансы[ | ]

О связи уравнений и тригонометрических сумм следует отметить два нюанса. Во-первых, иногда бывает удобно переходить не от уравнения к суммам, а наоборот в ходе оценке суммы после её преобразований переходить к анализу простого или известного уравнения[8]. Во-вторых, чисто комбинаторные преобразования уравнений можно выражать на языке тригонометрических сумм. Поэтому в литературе, посвящённой тригонометрическим суммам, часто эти преобразования так и излагают, без упоминания о том, что то же самое можно сделать элементарно[9]. Тем не менее, существует много случаев, когда прямое элементарное переложение невозможно.

Равномерное распределение[ | ]

Если функцию, так или иначе связанную с умножением, применить к интервалу, то тригонометрическая сумма над получившимся множеством, как правило, будет иметь порядок , где - длина интервала (число слагаемых). Этот эффект известен как "square-root barier" и свидетельствует о равномерном распределении множества с очень малым остаточным членом (порядка ).
На графике первообразный корень, дискретный логарифм. Для других больших интервалов вместо результаты будут похожими.

Для любого интервала в кольце вычетов можно оценить связанную с ним тригонометрическую сумму

Благодаря этому оценку тригонометрических сумм над множеством в можно преобразовывать в утверждение о его равномерном распределении в [10]:

Если для множества и любого верна оценка , то для любых можно показать, что

Чаще всего подобные результаты удобно получать для простого . Известны оценки таких сумм для квадратичных вычетов[11], других степеней[12], индексов (дискретных логарифмов) чисел из интервала[13], обратных элементов для интервала[14] и даже для произвольной мультипликативной подгруппы размера (для любого фиксированного )[15]. Похожий метод применим для доказательства равномерного распределения вещественных последовательностей в интервале .

По аналогии с этим, суммы мультипликативных характеров можно воспринимать как показатель равномерности относительно структуры мультипликативной группы . Такие суммы хорошо изучены для интервалов, множества значений многочленов и сдвигов простых чисел[16].

История[ | ]

Первое использование тригонометрических сумм относят к исследованию Гаусса о квадратичном законе взаимности (1795 г.[17]). Он оценивал суммы с квадратичными вычетами, то есть вида [18]. Вскоре Дирихле применил суммы характеров с коэффициентами к изучению распределения простых чисел в арифметических прогрессиях[19].

В конце XIX – начале XX века тригонометрических суммы стали использовать для исследования распределения последовательностей[20][21].

Значимым событием стало применение тригонометрических сумм к решению проблемы Варинга двумя способами: круговым методом Харди–Литтлвуда и переосмыслившим его методом И. М. Виноградова[22]. Виноградов впоследствии развил свой метод для получения результатов о простых числах, в том числе решения тернарной проблемы Гольдбаха для достаточно больших чисел[23] и аналога проблемы Варинга для простых чисел[24].

Клаус Рот и позже Уильям Тимоти Гауэрс применили технику кругового метода для доказательства теоремы Семереди[25]. Впоследствии тригонометрические суммы были использованы во многих задачах аддитивной комбинаторики[26].

Суммы с собственными названиями[ | ]

  • суммы Вейля для многочлена с вещественными (не целыми) коэффициентами и интервала :

Обобщения[ | ]

При изучении некоммутативных групп характеры представлений можно использовать для определения аналогов коэффициентов Фурье[30].

Литература[ | ]

  • И. М. Виноградов. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М.: Наука, 1971. — 158 с. — 7500 экз.
  • К. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. — 185 с.
  • А, А. Карацуба. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983. — 240 с.
  • N. G. Moshchevitin, I. D. Shkredov. On a modular form of Zaremba's conjecture (англ.). — 2019. — arXiv:1911.07487.

Примечания[ | ]

  1. В случае для доказательства достаточно умножить сумму на (значение не изменится). См. также Сегал, 1946, с. 149, формула (2)
  2. Сегал, 1946, с. 173, §35
  3. Поскольку для любого
  4. По неравенству треугольника для комплексной плоскости
  5. См., например, Карацуба, 1983, с. 84, лемма 1.а
  6. См. Сегал, 1946, с. 181, формула (61), а также Карацуба, 1983, с. 157, формула (1)
  7. Карацуба, 1983, с. 158.
  8. См., например, переход в Королёв, 2016 в конце с. 81 или там же к переход к уравнению (4) на с. 87, или Гараев, 2010, с. 59-61
  9. Например, в Карацуба, 1983 лемма 4.б на с. 84 обосновывается через выражение числа решений интегралом тригонометрических сумм, хотя тот же результат можно получить, применив перестановочное неравенство к набору чисел .
  10. См. пример подобных рассуждений для множества квадратичных вычетов в Сегал, 1946, с. 152-153. Доказательство состоит в применении общей техники анализа уравнения к выражению . См. также общий подход к сравнения в Гараев, 2010, с. 7, лемма 1.1.
  11. Сегал, 1946, с. 151.
  12. Сегал, 1946, с. 159-160 (§17)
  13. Сегал, 1946, с. 158-159 (§16)
  14. Королёв, 2016, теорема 3
  15. Bourgain, 2009, следствие на с. 1478; см. также обзор этого доказательства в Гараев, 2010, с. 39-47
  16. Карацуба, 2008, с. 49-50.
  17. Чандрасекхаран, 1974, с. 179, см. примечание к главе V, §1
  18. Впоследствии были получены аналогичные результаты и для других степеней и даже многочленов. См. Виноградов, 1971, с. 5-8
  19. Чандрасекхаран, 1974, с. 182, см. примечание к главе X, §5
  20. Чандрасекхаран, 1974, с. 120-130,181.
  21. Сегал, 1946, с. 151-153.
  22. Сегал, 1946, с. 178.
  23. Карацуба, 1983, см. финальное утверждение на с. 172
  24. Виноградов, 1971, глава 9
  25. См. изложение доказательства Рота в Шкредов, 2010, с. 134,139-142, обзор метода Гауэрса там же в разделе 4, а также Gowers, 2001
  26. Шкредов, 2010.
  27. Gowers, 2001, с. 470-471; см. также обобщение для произвольных абелевых групп в Шкредов, 2009, с. 184,187
  28. См. Bourgain, 2009, теорема B
  29. Карацуба, 2008, с. 45, формула (3)
  30. Moshchevitin, Shkredov, 2019, раздел 3