Топологическая группа

Топологи́ческая гру́ппа (непрерывная группа) — это[1] группа, которая одновременно является топологическим пространством, причём умножение элементов группы G × GG и операция взятия обратного элемента GG являются непрерывными в используемой топологии.

Из приведённого определения непосредственно следует, что операции левого и правого сдвига, а также операция сопряжения, традиционно обозначаемые буквами l, r, a и определяемые равенствами

lg(h) = gh,
rg(h) = hg,
ag(h) = ghg−1,

представляют собой гомеоморфизмы пространства G на себя.

Изоморфизм топологической группы G на топологическую группу H — это[2] биективное отображение группы G на H, которое одновременно является изоморфизмом структуры группы в G на структуру группы в H и гомеоморфизмом G на H.

Понятие топологической группы обобщает понятие группы Ли; последнее требует, чтобы операции умножения элементов и взятия обратного элемента были не только непрерывными, но аналитическими или голоморфными (при этом на группе вводится не только топология, но и структура аналитического или комплексного многообразия).


Примеры топологических групп[ | ]

  • Множество квадратных матриц одного порядка с ненулевыми детерминантами и действительными элементами образуют топологическую группу при задании операции обычного матричного умножения.
  • Векторное пространство конечной размерности образует топологическую группу при задании операции сложения векторов.

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

Литература[ | ]

Ссылки[ | ]