Теория категорий

Схематическое обозначение объектов категории X, Y, Z и морфизмов f, g, gf.

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике[1], она также нашла применения в информатике[2], логике[3] и в теоретической физике[4][5]. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell[6].


Определение[ | ]

Категория  — это:

  • класс объектов ;
  • для каждой пары объектов , задано множество морфизмов (или стрелок) , причём каждому морфизму соответствуют единственные и ;
  • для пары морфизмов и определена композиция ;
  • для каждого объекта задан тождественный морфизм ;

причём выполняются две аксиомы:

  • операция композиции ассоциативна: и
  • тождественный морфизм действует тривиально: для

Малая категория[ | ]

Класс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория , в которой является множеством и (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру[7]. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Примеры категорий[ | ]

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

Коммутативные диаграммы[ | ]

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Диаграмма аксиом категорий

Двойственность[ | ]

Для категории можно определить двойственную категорию , в которой:

  • объекты совпадают с объектами исходной категории;
  • морфизмы получаются «обращением стрелок»:

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства[ | ]

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм[ | ]

Морфизм называется изоморфизмом, если существует такой морфизм , что и . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом .

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм[ | ]

Мономорфизм — это морфизм такой, что для любых из следует, что . Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм , что для любых из следует . Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты[ | ]

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.

Объект категории называется нулевым, если он одновременно инициальный и терминальный.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество , терминальным — любое множество из одного элемента .
Пример: В категории Grp существует нулевой объект — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов[ | ]

Прямое произведение

Произведение (пары) объектов A и B — это объект с морфизмами и такими, что для любого объекта с морфизмами и существует единственный морфизм такой, что диаграмма, изображённая справа, коммутативна. Морфизмы и называются проекциями.

Двойственно определяется сумма или копроизведение объектов и . Соответствующие морфизмы и называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set произведение A и B — это прямое произведение в смысле теории множеств , а сумма — дизъюнктное объединение .
Пример: В категории Ring сумма — это тензорное произведение , а произведение — прямая сумма колец .
Пример: В категории VectK (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств .

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов . Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в VectK изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения являются произвольные бесконечные последовательности элементов , в то время как элементами бесконечного копроизведения являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы[ | ]

Основная статья: Функтор (математика)

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор ставит в соответствие каждому объекту категории объект категории и каждому морфизму морфизм так, что

  • и
  • .

Контравариантный функтор, или кофунктор можно понимать как ковариантный функтор из в (или из в ), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму он сопоставляет морфизм , соответственным образом обращается правило композиции: .

Естественные преобразования[ | ]

Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.

Если и  — ковариантные функторы из категории в , то естественное преобразование сопоставляет каждому объекту категории морфизм таким образом, что для любого морфизма в категории следующая диаграмма коммутативна:

Commutative diagram defining natural transformations

Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что  — изоморфизм для любого .

Некоторые типы категорий[ | ]

См. также[ | ]

Ссылки[ | ]

  1. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.:МЦНМО, 2004 ISBN 5-94057-065-8
  2. D. E. Rydeheard, R. M. Burstall. Computational Category Theory. — New York: Prentice Hall, 1988. — 257 с. — ISBN 0-13-162736-8.
  3. Р. Голдблатт. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
  4. Родин А. В. Теория категорий и поиски новых математических оснований физики // Вопросы философии. — 2010. — № 7. — С. 67.
  5. И. Иванов. Нужна ли физикам теория категорий?. Элементы (10 сентября 2008).
  6. Category theory in Haskell (англ.). Дата обращения: 13 марта 2011. Архивировано 24 августа 2011 года.
  7. J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.

Литература[ | ]

  • С. Мак Лейн [Maclane S.] Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
  • С. Мак Лейн [Maclane S.] Гомология. — М.: Мир — том 114 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften, 1966 [1963].
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории. — том 06 серии — ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия`, 1969.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорий. — М.: Наука, 1970.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
  • Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972. 259 с.
  • Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — М.: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
  • Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 2. — М.: Мир — том 191 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1976].
  • Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопий. — М.: Мир — том 35 серии Springer-Verlag — Ergebnisse der mathematik und ihrer grenzgebiete — 1971 [1967].
  • Голдблатт [Goldblatt R.] Топосы — категорный анализ логики. — том 98 серии Studies in logic & foundation of mathematics — 1983 [1979].
  • Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями. — том 33 серии Новое в зарубежной науке, математика — ред. Бухштабер В. М. — 1983.
  • Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А., Шеврин Л. Н., Шульгейфер Е. Г. Общая алгебра. Том 2. — М., Наука, 1991. — 480 c. — ISBN 5-02-014427-4. — Тираж 25500 экз.