Теорема представлений Рисса

Теорема представлений Риса (также теорема Риса — Фреше) — утверждение функционального анализа, согласно которому каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь венгерского математика Фридьеша Риса.


Формулировка[ | ]

Пусть существуют гильбертово пространство и линейный ограниченный функционал в пространстве . Тогда существует единственный элемент пространства , такой, что для произвольного выполняется . Кроме того, выполняется равенство: .

Доказательство[ | ]

ядро линейного функционала является векторным подпространством .

Существование [ | ]

Если , то достаточно взять . Предположим, что . Тогда , и, следовательно, ортогональное дополнение ядра не равно . Выберем произвольный ненулевой вектор . Положим . Мы покажем, что для всех . Рассмотрим вектор . Заметим, что , и, таким образом, . Поскольку , то . Следовательно,

.

Отсюда и .

Единственность [ | ]

Предположим, что и элементы удовлетворяют .

Это означает, что для всех справедливо равенство , в частности , откуда и получается равенство .

Равенство норм[ | ]

Для доказательства сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем: . Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем: Кроме того, , откуда . Объединяя два неравенства, получаем .

См. также[ | ]

Примечания[ | ]