Теорема Фробениуса

Эта статья — о теореме Фробениуса в алгебре. О других теоремах Фробениуса см. Теорема Фробениуса (значения).

Теоре́ма Фробе́ниуса — одна из теорем общей алгебры. Теорема утверждает, что при некоторых естественных предположениях (конечномерность, см. ниже) всякое тело (в частности, поле), расширяющее поле вещественных чисел :

Эта теорема была доказана Ф. Г. Фробениусом в 1877 году.


Формулировка[ | ]

Пусть тело, содержащее в качестве подтела тело вещественных чисел, причём выполняются два условия:

  • любой элемент коммутирует по умножению с вещественными числами: , ;
  • является конечномерным векторным пространством над полем .

Другими словами, является конечномерной алгеброй с делением[1] над полем вещественных чисел.

Теорема Фробениуса утверждает, что всякое такое тело :

  • либо изоморфно полю вещественных чисел,
  • либо изоморфно полю комплексных чисел,
  • либо изоморфно телу кватернионов.

Отметим, что теорема Фробениуса относится только к конечномерным расширениям . Например, она не охватывает поле гипервещественных чисел нестандартного анализа, которое тоже является расширением , но не конечномерным. Другой пример — алгебра рациональных функций.

Следствия и замечания[ | ]

  • Эта теорема тесно связана с теоремой Гурвица о нормированных вещественных алгебрах. Нормированные алгебры с делением — только и (неассоциативная) алгебра чисел Кэли.
  • При расширении системы комплексных чисел мы неизбежно теряем какие-либо арифметические свойства: коммутативность (кватернионы), ассоциативность (алгебра Кэли) и т. п.
  • Не существует аналога системы кватернионов с двумя (а не тремя) кватернионными единицами.
  • Поля и являются единственными конечномерными вещественными ассоциативными и коммутативными алгебрами без делителей нуля.
  • Тело кватернионов является единственной конечномерной вещественной ассоциативной, но некоммутативной алгеброй без делителей нуля.
  • Алгебра Кэли является единственной конечномерной вещественной альтернативной неассоциативной алгеброй без делителей нуля.

Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса.

Алгебры с делением над полем комплексных чисел[ | ]

Алгебра размерности n над полем комплексных чисел является алгеброй размерности 2n над . Тело кватернионов не является алгеброй над полем , так как центром является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над является алгебра .

Гипотеза Фробениуса[ | ]

В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве Rn нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.

Если при n>1 в пространстве Rn определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере Sn-1 существует n-1 линейно независимых векторных полей[2]. Из результатов, полученных Адамсом о количестве векторных полей на сфере[en], следует, что это возможно только для сфер S1, S3, S7. Это доказывает гипотезу Фробениуса.

См. также[ | ]

Литература[ | ]

Примечания[ | ]

  1. Алгебра с делением не содержит делителей нуля. Для конечномерной алгебры над полем верно и обратное утверждение. Поэтому в разных источниках при формулировке теоремы и следствий может быть использован как термин «алгебра с делением», так и «алгебра без делителей нуля».
  2. Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — Москва, 1989 — §19, стр.170.