Тензорное поле

Тензорное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.


Определение[ | ]

Формально тензорное поле можно определить несколькими способами.

Определение через понятие структуры на многообразии[ | ]

Используя основное понятие дифференциальной геометрии — структура на многообразии, — можно дать следующее определение:

Пусть , и  — пространство тензоров типа с естественным тензорным представлением группы , тогда структура типа является линейной структурой первого порядка и называется тензорным полем (или тензорной структурой) типа .

Определение через понятие тензорного расслоения[ | ]

При определении тензорного поля можно отталкиваться от понятия тензорного расслоения.

Тензорное поле — это сечение тензорного расслоения на дифференцируемом многообразии , изоморфного в общем случае тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений

Нестрогое определение[ | ]

Менее формально тензорное поле можно рассматривать как отображение, которое каждой точке рассматриваемого многообразия ставит в соответствие тензор постоянной валентности.

Область применения[ | ]

Понятие тензорного поля естественным образом возникает в механике и физике сплошных сред при описании анизотропных сред. Понятие тензорного поля находит применение во всех прикладных науках, где такие среды рассматриваются и изучаются. Оно входит в математический аппарат общей и специальной теории относительности.

Расширенное тензорное поле[ | ]

Понятие расширенного тензорного поля возникает в результате расширения понятия тензорного поля в изложенном выше смысле.

Нестрогое определение[ | ]

Проще всего понимать такое расширение исходя из нестрогого определения, согласно которому тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке многообразия некоторый тензор фиксированной валентности , отнесенный к этой точке . Пусть теперь  — некоторое другое многообразие, являющееся линейным расслоением над , и пусть  — каноническая проекция для такого расслоения. Тогда расширенное тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке многообразия некоторый тензор фиксированной валентности на , отнесенный к точке .

Литература[ | ]