Супернатуральные числа

Супернатуральные числа (иногда также именумые обобщёнными натуральными числами или числами Штайница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число является формальным произведением:

где может быть любым простым числом, а каждое является или натуральным числом, или бесконечностью. Иногда пишут для обозначения . Если не выполняется условие и имеется только конечное число ненулевых , получаем стандартный натуральный ряд. Супернатуральные числа позволяют расширить ряд натуральных чисел, используя возможность бесконечного числа простых факторов, и позволяют любому данному простому числу делить число «бесконечнократно», приравнивая показатель экспоненты к бесконечности.

Не существует естественного способа определить сложение на множестве супернатуральных чисел, но их можно перемножать: . Аналогичным образом на них распространяется понятие делимости если для всех . Можно также ввести для супернатуральных чисел понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя, определив

С помощью этих алгоритмов можно как получить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для бесконечного количества натуральных чисел, так и провести аналогичную процедуру для супернатуральных чисел.

Обычные p-адические функции можно распространить на супернатуральные числа, определив для каждого .

Супернатуральные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп; благодаря этому удалось обобщить на проконечные группы многие теоремы о конечных группах.


Ссылки[ | ]