Структура (дифференциальная геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Структура (значения).

В дифференциальной геометрии структурой на многообразии, геометрической величиной или полем геометрических объектов называется сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением кореперов некоторого многообразия . Интуитивно геометрическую величину можно рассматривать как величину, значение которой зависит не только от точки многообразия , но и от выбора корепepa, то есть от выбора инфинитезимальной системы координат в точке (см. также Карта).


Формальное определение структуры на многообразии[ | ]

Для формального определения структур на многообразии рассмотрим  — общую дифференциальную группу порядка (группу -струй в нуле преобразований пространства , сохраняющих начало координат),  — многообразие кореперов порядка -мерного многообразия (то есть многообразие -струй локальных карт с началом в точке ).

Группа действует слева на многообразии по формуле

Это действие определяет в структуру главного -расслоения , называемого расслоением кореперов порядка .

Пусть теперь  — произвольное -многообразие, то есть многообразие с левым действием группы , a  — пространство орбит левого действия группы в . Расслоение , являющееся естественной проекцией пространства орбит на и ассоциированное как с , так и с , называется расслоением геометрических структур типа порядка не больше , а его сечения — структурами типа . Структуры такого типа находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с -зквивариантными отображениями .

Таким образом, структуры типа можно рассматривать как -значную функцию на многообразии -реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности:

Расслоение геометрических объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия действует как группа автоморфизмов .

Если есть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы , то структуры типа называются линейными (соответственно аффинными).

Основными примерами линейных структур первого порядка являются тензорные структуры, или тензорные поля. Пусть , и  — пространство тензоров типа с естественным тензорным представлением группы . Структура типа называется тензорным полем типа . Её можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов , сопоставляющую кореперу набор координат тензора относительно стандартного базиса

пространства . При линейном преобразовании коронера координаты преобразуются по тензорному представлению:

Важнейшими примерами тензорных структур являются:

Все линейные структуры (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского[1].

Примером аффинной структуры второго порядка служит аффинная связность без кручения, которую можно рассматривать как структуру типа , где — ядро естественного гомоморфизма , которое можно рассматривать как векторное пространство с естественным действием группы .

Другим важным и добольно широким классом структур является класс инфинитезимально однородных структур, или -структур. Их можно определить как структуры типа , где — однородное пространство группы .

Для дальнейшего обобщения можно рассмотреть общие -структуры — главные расслоения, гомоморфно отображающиеся на -структуру, и сечения ассоциированных с ними расслоений. В этом случае можно рассматривать ряд важных общих геометрических структур, такие как спинорные структуры, симплектические спинорные структуры и др.

Литература[ | ]

  1. Бурбаки, Н. Теория множеств / Пер. с франц. — М.: Мир, 1965. — 457 с.
  2. Веблен, О., Уайтхед, Дж. Основания дифференциальной геометрии. — М.: ИИЛ, 1949. — 230 с.
  3. Стернберг, С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1970. — 413 с.
  4. Васильев, А. М. Теория дифференциально-геометрических структур. — М.: МГУ, 1987. — 190 с.
  5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Труды геометрического семининара. — т. 1. — М.: ВИНИТИ, 1966, с. 139—189.

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. Рашевский П. К. Труды Московского математического общества. — 1957. — т. 6. — с. 337—370.