Символ Похгаммера

Символ Похгаммера — обозначение функции, задаваемой произведением:

${\displaystyle (x)_{n}=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=x(x+1)(x+2)\dotsm (x+n-1)}$,

где ${\displaystyle n\geqslant 0}$ — целое число. Название дано по имени немецкого математика Лео Похгаммера.

Символы Похгаммера удовлетворяют соотношению:

${\displaystyle (-x)_{n}=(-1)^{n}\cdot (x-n+1)_{n}}$.

В частном случае, при ${\displaystyle x=1}$ символ Похгаммера даёт факториал:

${\displaystyle (1)_{n}=n!}$.

Символ Похгаммера можно выразить через гамма-функцию:

${\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}$.

Производная символа Похгаммера:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x)_{n}=(x)_{n}\cdot \left(\psi _{0}(n+x)-\psi _{0}(x)\right)}$,

где ${\displaystyle \psi _{0}(x)}$ — дигамма-функция.

Символ Похгаммера связан с числами Стирлинга первого рода ${\displaystyle s(n,k)}$:

${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)\cdot x^{k}}$.

Ссылки[ | ]

• Weisstein, Eric W. Pochhammer Symbol (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.