Семнадцатая проблема Гильберта

Семнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, которые Давид Гильберт высказал в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже и которые оказали исключительное влияние на развитие математики в XX веке. Формулировка задачи по Гильберту такова:

Пусть дана рациональная функция от $n$ переменных с вещественными коэффициентами, которая во всех вещественных точках, где она определена, принимает неотрицательные значения. Можно ли представить её в виде суммы квадратов рациональных функций, все коэффициенты которых вещественны?

Эмиль Артин дал положительное решение этого вопроса в 1927 году, но его решение было неконструктивным. Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Дельзеллом в 1984 году.

Вариации и обобщения[ | ]

Существуют многочлены, которые неотрицательны при всех вещественных значениях аргументов, но не могут быть представлены в виде суммы квадратов других многочленов. Существование таких примеров было доказано Гильбертом.^[1] Более явные примеры таких многочленов были даны Моцкиным (англ.) в 1967 году.
- Например, многочлены
  $f(x,y)=x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-3)+1,$
  
  $g(x,y,z)=z^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}z^{2}$
не могут быть представлены в виде суммы квадратов многочленов с вещественными коэффициентами. Но их можно представить в виде суммы квадратов рациональных функций, например,
$f(x,y)=\left({\tfrac {x^{2}y(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+\left({\tfrac {xy^{2}(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+\left({\tfrac {xy(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}.$
Известны явные необходимые и достаточные условия того, что многочлен является суммой квадратов других многочленов.^[2]
С 1950-х годов известно, что возможность представить многочлен в виде суммы квадратов многочленов связана с решением многомерной степенной проблемы моментов.
Известно, что каждый неотрицательный многочлен может быть сколь угодно точно приближен (по $l_{1}$ -норме вектора его коэффициентов) многочленами, которые являются суммой квадратов многочленов.^[3]

Примечания[ | ]

↑ Hilbert, D. Über die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. Mathem. Annalen Bd 32, S. 342—350 (1888); см. также Hilbert, D. Gesammelte Abhandlungen. Zweiter Band. Algebra, Invariantentheorie, Geometrie. (German) Chelsea Publishing Co., New York 1965 viii+453 p.
↑ V. Powers, T. Wormann. An algorithm for sums of squares of real polynomials (англ.) // Journal of pure and applied algebra : journal. — 1998. — Vol. 127, no. 1. — P. 99—104. — doi:10.1016/S0022-4049(97)83827-3.
↑ Jean B. Lasserre. A Sum of Squares Approximation of Nonnegative Polynomials (англ.) // SIAM Rev. : journal. — 2007. — Vol. 49, no. 4. — P. 651—669. — doi:10.1137/070693709.

Литература[ | ]

Проблемы Гильберта / Сборник под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с.
В. В. Прасолов. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
C. N. Delzell. A continuous, constructive solution to Hilbert’s 17th problem (англ.) // Invent. Math. : journal. — 1984. — Vol. 76, no. 3. — P. 365—384. — doi:10.1007/BF01388465.

[1] Hilbert, D. Über die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. Mathem. Annalen Bd 32, S. 342—350 (1888); см. также Hilbert, D. Gesammelte Abhandlungen. Zweiter Band. Algebra, Invariantentheorie, Geometrie. (German) Chelsea Publishing Co., New York 1965 viii+453 p.

[2] V. Powers, T. Wormann. An algorithm for sums of squares of real polynomials (англ.) // Journal of pure and applied algebra : journal. — 1998. — Vol. 127, no. 1. — P. 99—104. — doi:10.1016/S0022-4049(97)83827-3.

[3] Jean B. Lasserre. A Sum of Squares Approximation of Nonnegative Polynomials (англ.) // SIAM Rev. : journal. — 2007. — Vol. 49, no. 4. — P. 651—669. — doi:10.1137/070693709.

[1]

[2]

[3]