Расширенная числовая прямая

Расширенная числовая прямая, Аффинно расширенная числовая прямая — множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: ${\displaystyle +\infty }$ (положительная бесконечность) и ${\displaystyle -\infty }$ (отрицательная бесконечность), то есть ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty \}\cup \{-\infty \}}$.

При этом для любого вещественного числа ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ по определению полагают выполненными неравенства ${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$. В некоторых дидактических материалах термин "расширенная числовая пряиая" используется по отношению к числовой прямой, расширенной одной бесконечно удалённой точкой,^[1] не связанной с действительными числами отношением порядка, поэтому иногда для уточнения прямую с одной бесконечностью называют проективно расширенной, а с двумя — аффинно расширенной.

Упорядоченность[ | ]

Множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ линейно упорядоченно по отношению ${\displaystyle \leqslant }$. Однако в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то её расширение до системы ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ как раз состоит в добавлении максимального (${\displaystyle +\infty }$) и минимального (${\displaystyle -\infty }$) элементов.

Благодаря этому, в системе ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ всякое непустое множество имеет точную верхнюю грань (конечную, если множество ограничено сверху, и ${\displaystyle +\infty }$, если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов ${\displaystyle +\infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$.

Топология расширенной числовой прямой[ | ]

Открытые множества и окрестности[ | ]

Отношение порядка ${\displaystyle <}$ порождает топологию ${\displaystyle \tau }$ на ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$. В топологии ${\displaystyle \tau }$ открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов:

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \},\quad (\alpha ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x>\alpha \},\quad [-\infty ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x<\beta \},}$,

где ${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {R} }}}$.

Окрестностью ${\displaystyle U(a)}$ точки ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}}$ называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии ${\displaystyle \tau }$, всякая окрестность точки ${\displaystyle a}$ включает один из интервалов указанного вида, содержащий ${\displaystyle a}$.

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности ${\displaystyle U_{\varepsilon }(a)}$ точки расширенной числовой прямой (${\displaystyle \varepsilon >0}$).

В случае ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, то есть когда ${\displaystyle a}$ является числом, ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью ${\displaystyle a}$ называется множество:

${\displaystyle U_{\varepsilon }(a){\overset {\mathrm {def} }{=}}(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).}$.

Если же ${\displaystyle a=+\infty }$, то:

${\displaystyle U_{\varepsilon }(+\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left({\frac {1}{\varepsilon }},+\infty \right],}$,

а если ${\displaystyle a=-\infty }$, то:

${\displaystyle U_{\varepsilon }(-\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left[-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon }}\right).}$.

Понятие ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда ${\displaystyle a}$ является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа ${\displaystyle \varepsilon }$ соответствующие окрестности уменьшаются: ${\displaystyle 0<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}\Rightarrow U_{\varepsilon _{1}}(a)\subset U_{\varepsilon _{2}}(a)}$.

Пределы[ | ]

В ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ все специальные разновидности пределов укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть ${\displaystyle f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$, где ${\displaystyle X\subset {\overline {\mathbb {R} }}}$. В частности ${\displaystyle f}$ может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть ${\displaystyle x_{0},a\in {\overline {\mathbb {R} }}}$. Тогда:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=a{\overset {\mathrm {def} }{\iff }}\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\;(x\in U_{\delta }(x_{0})\Rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon }(a))}$

Компактность[ | ]

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ может рассматриваться как двухточечная компактификация ${\displaystyle \mathbb {R} }$. При этом ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ оказывается гомеоформным отрезку ${\displaystyle [0,1]}$. Этот факт имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм ${\displaystyle f\colon [0,1]\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ задаётся формулой:

${\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} \left(\pi x-{\frac {\pi }{2}}\right)}$.

См. также[ | ]

Проективно расширенная числовая прямая

Примечания[ | ]

Литература[ | ]

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
• Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
• Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3.