Расширенная числовая прямая

Эта статья о числовой прямой, расширенной двумя знаковыми бесконечностями; о числовой прямой, расширенной одной беззнаковой бесконечностью, см. Проективно расширенная числовая прямая.

Расширенная числовая прямая, Аффинно расширенная числовая прямая — множество вещественных чисел , дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть .

При этом для любого вещественного числа по определению полагают выполненными неравенства . В некоторых дидактических материалах термин "расширенная числовая пряиая" используется по отношению к числовой прямой, расширенной одной бесконечно удалённой точкой,[1] не связанной с действительными числами отношением порядка, поэтому иногда для уточнения прямую с одной бесконечностью называют проективно расширенной, а с двумя — аффинно расширенной.


Упорядоченность[ | ]

Множество вещественных чисел линейно упорядоченно по отношению . Однако в нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то её расширение до системы как раз состоит в добавлении максимального () и минимального () элементов.

Благодаря этому, в системе всякое непустое множество имеет точную верхнюю грань (конечную, если множество ограничено сверху, и , если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов и .

Топология расширенной числовой прямой[ | ]

Открытые множества и окрестности[ | ]

Отношение порядка порождает топологию на . В топологии открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов:

,

где .

Окрестностью точки называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии , всякая окрестность точки включает один из интервалов указанного вида, содержащий .

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие -окрестности точки расширенной числовой прямой ().

В случае , то есть когда является числом, -окрестностью называется множество:

.

Если же , то:

,

а если , то:

.

Понятие -окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа соответствующие окрестности уменьшаются: .

Пределы[ | ]

В все специальные разновидности пределов укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть , где . В частности может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть . Тогда:

Компактность[ | ]

 — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел может рассматриваться как двухточечная компактификация . При этом оказывается гомеоформным отрезку . Этот факт имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм задаётся формулой:

.

См. также[ | ]

Проективно расширенная числовая прямая

Примечания[ | ]

  1. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — 3-е изд. перераб.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 1. — С. 19. — 400 с. — ISBN 5-9221-0184-6.

Литература[ | ]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
  • Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
  • Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3.