Простое число-палиндром

Простое число-палиндром — простое число, которое также является палиндромом, то есть его запись одинаково читается как справа налево, так и слева направо. Палиндромичность зависит от выбранного основания системы счисления, тогда как простота — нет.

Несколько первых простых чисел-палиндромов в десятичной системе счисления (последовательность A002385 в OEIS):

2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929,…

В десятичной записи, за исключением 11, все простые числа-палиндромы содержат нечетное количество цифр, что следует из признака делимости на 11, по которому каждое палиндромное число с четным количеством цифр кратно 11. Неизвестно, существует ли бесконечное количество простых чисел-палиндромов по основанию 10, самое большое известное такое число на июль 2020 это

10 474500 + 999 × 10 237249 + 1.

которое состоит из 474 501 цифры и было обнаружено в 2014 году Сергеем Баталовым.[1]

Известно также, что для любого основания счисления почти все палиндромные числа составные[2], то есть соотношение количества составных палиндромных чисел ко всем палиндромным числам меньше n стремится к 1.

В двоичной системе счисления простыми числами-палиндромами являются простые числа Мерсенна и простые числа Ферма. Все двоичные простые числа-палиндромы, кроме двоичного 11 (десятичное 3), содержат нечетное количество цифр, так как палиндромы с четным числом цифр делятся на 3.

Несколько первых двоичных простых чисел-палиндромов (последовательность A117697 в OEIS):

11, 101, 111, 10001, 11111, 1001001, 1101011, 1111111, 100000001, 100111001, 110111011, …

Простые числа-палиндромы по основанию 12 (десять и одиннадцать обозначаются зеркально отраженными 2 и 3):

2, 3, 5, 7, Ɛ, 11, 111, 131, 141, 171, 181, 1Ɛ1, 535, 545, 565, 575, 585, 5Ɛ5, 727, 737, 747, 767, 797, Ɛ1Ɛ, Ɛ2Ɛ, Ɛ6Ɛ,. . .

Звериное простое число-палиндром содержит в центре число зверя 666. Один из примеров — это связанное с несколькими суевериями простое число Бельфегора 1000000000000066600000000000001, в котором 666 окружено с обеих сторон тринадцатью нулями. Ещё одно пример такого числа — 700666007.[3]

Тройное простое число-палиндром — по определению Рибенбойма, это простое число-палиндром p из q цифр, где q — простое число-палиндром из r цифр, где r — простое число-палиндром.[4] Например, p = 10 11310 + 4661664 ⋅105652 + 1, в котором q = 11311 цифр, а 11311 состоит из r = 5 цифр. Первое (по основанию 10) тройное простое число-палиндром — это 11-значное число 10000500001. Возможно и так, что тройное простое число-палиндром по основанию 10 также является палиндромом по другому основанию, и было бы весьма примечательно, если бы по другому основанию оно также было тройным простым числом-палиндромом.


Примечания[ | ]

  1. Chris Caldwell, The Top Twenty: Palindrome
  2. William D. Banks, Derrick N. Hart, Mayumi Sakata, February 1, 2008 «Almost All Palindromes Are Composite»
  3. See Caldwell, Prime Curios! (CreateSpace, 2009) p. 251, quoted in Wilkinson. The Pursuit of Beauty, The New Yorker (February 2, 2015). Дата обращения 29 января 2015.
  4. Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records