Правило Лопиталя

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.


Точная формулировка[ | ]

Теорема Лопиталя:

Если:  — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности точки , где  — действительное число или один из символов , причём

  1. или ;
  2. в ;
  3. существует ;

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

История[ | ]

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.[2]


Примеры[ | ]


  • Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на в наибольшей степени(в нашем случае ). В этом примере получается:
  •  — применение правила раз;
  • при ;
  • .

Следствие[ | ]

Простое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:

Пусть функция дифференцируема в проколотой окрестности точки , а в самой этой точке она непрерывна и имеет предел производной . Тогда функция дифференцируема и в самой точке , и (то есть, производная непрерывна в точке ).

Для доказательства достаточно применить правило Лопиталя к отношению .

См. также[ | ]

Аналогом правила Лопиталя для последовательностей вещественных чисел является Теорема Штольца.

Примечания[ | ]

  1. http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_1.pdf
  2. Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of , p.216