Постоянные Фейгенбаума

Основная статья: Теория бифуркаций
Иррациональные числа
ζ(3) — ρ — 2 — 3 — 5ln 2φ,Φ — ψα,δ — e и π

Постоянная Фейгенбаума — универсальная постоянная, характеризующая бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыта Митчеллом Фейгенбаумом в 1975 году.

Каскад бифуркаций для логистического отображения. Над каждой точкой на оси абсцисс отложены точки соответствующего предельного цикла отображения . Видно, что при увеличении неподвижная точка сменяется циклом длины 2, он, в свою очередь, циклом длины 4, и так далее. Первая константа Фейгенбаума равна пределу отношения , где — расстояния между точками бифуркаций.

Первая константа Фейгенбаума-Заура-Давыдова-Скамера[ | ]

Одна из простейших динамических систем, где происходит каскад бифуркаций — это рекуррентные последовательности , где — некоторый параметр. Один из простейшиx примеров функции — логистическое отображение

В зависимости от параметра , в системе может присутствовать неподвижная точка или предельный цикл. При изменении может произойти бифуркация, при которой предельный цикл удваивает свой период. Обозначим за значения , при которых происходит удвоение периода. Оказывается, что при больших значения сходятся к фиксированному значению . Сходимость происходит по геометрической прогрессии, причём показатель этой геометрической прогрессии оказывается одинаковым для широкого класса функций (универсальность Фейгенбаума). Этот показатель называется первой константой Фейгенбаума

При динамика системы становится хаотичной.

Физический смысл первой константы Фейгенбаума — скорость перехода к хаосу систем, испытывающих удвоение периода.

Она характеризует каскад удвоения периода во многих сложных динамических системах, таких, как система Рёсслера, турбулентность, рост популяций и пр.

Вторая константа Фейгенбаума[ | ]

Вторая константа Фейгенбаума[1]

определяется как предел отношения между шириной ветвей на диаграмме бифуркаций (см. рисунок). Эта константа тоже возникает в описании многих динамических систем.


Свойства констант Фейгенбаума[ | ]

Предполагается, что обе константы являются трансцендентными, хотя это ещё не доказано.


См. также[ | ]

Ссылки[ | ]

Примечания[ | ]

  1. последовательность A006891 в OEIS