Постоянные Фейгенбаума

Основная статья: Теория бифуркаций
Иррациональные числа
ζ(3) — ρ — 2 — 3 — 5ln 2φ,Φ — ψα,δ — e и π

Постоянные Фейгенбаума — универсальные постоянные, характеризующие бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыты Митчеллом Фейгенбаумом в 1975 году.

Каскад бифуркаций для логистического отображения. Над каждой точкой на оси абсцисс отложены точки соответствующего предельного цикла отображения . Видно, что при увеличении неподвижная точка сменяется циклом длины 2, он, в свою очередь, циклом длины 4, и так далее. Первая константа Фейгенбаума равна пределу отношения , где — расстояния между точками бифуркаций.

Первая константа Фейгенбаума[ | ]

Одна из простейших динамических систем, где происходит каскад бифуркаций — это рекуррентные последовательности , где — некоторый параметр. Один из простейшиx примеров функции — логистическое отображение

В зависимости от параметра , в системе может присутствовать неподвижная точка или предельный цикл. При изменении может произойти бифуркация, при которой предельный цикл удваивает свой период. Обозначим за значения , при которых происходит удвоение периода. Оказывается, что при больших значения сходятся к фиксированному значению . Сходимость происходит по геометрической прогрессии, причём показатель этой геометрической прогрессии оказывается одинаковым для широкого класса функций (универсальность Фейгенбаума). Этот показатель называется первой константой Фейгенбаума[1]

При динамика системы становится хаотичной.

Физический смысл первой константы Фейгенбаума — скорость перехода к хаосу систем, испытывающих удвоение периода.

Она характеризует каскад удвоения периода во многих сложных динамических системах, таких, как система Рёсслера, турбулентность, рост популяций и пр.

Вторая константа Фейгенбаума[ | ]

Вторая константа Фейгенбаума[2]

определяется как предел отношения между шириной ветвей на диаграмме бифуркаций (см. рисунок). Эта константа тоже возникает в описании многих динамических систем.


Свойства констант Фейгенбаума[ | ]

Предполагается, что обе константы являются трансцендентными, хотя это ещё не доказано.


См. также[ | ]

Ссылки[ | ]

Примечания[ | ]

  1. последовательность A006890 в OEIS
  2. последовательность A006891 в OEIS