Постоянная Гельфонда — Шнайдера

Постоянная Гельфонда — Шнайдера (обозначение[1]: ) — трансцендентное число, 2 в степени [1]:[1]

Трансцендентность этого числа была доказана Р. О. Кузьминым в 1930 году.[2] В 1934 году Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер независимо друг от друга доказали более общую теорему Гельфонда — Шнайдера[3], которая решила часть седьмой проблемы Гильберта, описанную ниже.


Свойства[ | ]

Квадратный корень из постоянной Гельфонда — Шнайдера является трансцендентным числом:

Это же число может быть использовано для доказательства того, что иррациональное число в степени иррационального числа может быть рациональным, без предварительного доказательства его трансцендентности. Доказательство происходит следующим образом. Если число рационально, то это является доказательством теоремы. В противном случае:

,

что является рациональным числом, а значит, доказывает теорему. Данное доказательство не конструктивно, так как не говорит, какой случай верный, но оно гораздо проще, чем доказательство Р. О. Кузьмина.

Седьмая проблема Гильберта[ | ]

Седьмая из двадцати трёх проблем Гильберта, поставленных в 1900 году, заключалась в том, чтобы доказать или найти контрпример утверждения, что всегда трансцендентно для алгебраических и иррациональных алгебраических . В своём обращении Гильберт привёл два ярких примера, один из которых — постоянная Гельфонда — Шнайдера.

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. 1 2 3 Wolfram|Alpha: Making the world’s knowledge computable (неопр.). www.wolframalpha.com. Дата обращения 20 июня 2018.
  2. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — Oxford Press, 1996. — С. 107.
  3. A. Gelfond. Sur le septième problème de Hilbert (фр.) // Известия Академии наук СССР. — 1934. — No 4. — P. 623–634.