Последовательность Майера — Вьеториса

Последовательность Майера — Вьеториса естественная длинная точная последовательность, связывающая гомологии пространства с гомологиями двух покрывающих его открытых множеств и их пересечения.

Последовательность Майера — Вьеториса можно написать для различных теорий  гомологий, в том числе сингулярных, а также для всех теорий, удовлетворяющих аксиомам Стинрода — Эйленберга.

Названа в честь двух австрийских математиков, Вальтера Майера и Леопольда Вьеториса.


Формулировка[ | ]

Предположим, топологическое пространство представляется как объединение открытых подмножеств и . Последовательность Майера — Вьеториса:

Отображения границы ∂* на торе, где 1-цикл x = u + v — сумма двух 1-цепей, граница которых лежит в пересечении A и B.

Здесь отображения , , , — отображения включения, и обозначает прямую сумму абелевых групп.

Отображение границы , понижающее размерность, может быть определено следующим образом. Элемент в представляется -циклом , который может быть записан как сумма двух -цепей и , образы которых лежат полностью в и , соответственно. Этого можно добиться, применив к барицентрическое подразделение несколько раз.

Таким образом, , так что . Заметим, что обе границы и лежат в . Тогда определяется как класс . При этом выбор разложения не влияет на значение .

Замечания[ | ]

  • Отображения в последовательности зависят от выбора порядка для и .
    • В частности, отображение границы меняет знак, если и меняются местами.

Приложения[ | ]

Гомологии сферы[ | ]

Разложение сферы

Чтобы вычислить гомологии k-мерной сферы, представим сферу как объединение двух k-мерных дисков и с пересечением, гомотопически эквивалентным -мерной экваториальной сфере . Поскольку и стягиваемы, из последовательности Майера — Вьеториса следует точность последовательностей

при . Точность сразу влечёт, что гомоморфизм ∂* является изоморфизмом при . Следовательно,

, если ,
иначе

Бутылка Клейна[ | ]

Разложение Бутылки Клейна  на две ленты Мебиуса, красную и синюю.

Для вычисления гомологий бутылки Клейна представим её, как объединение двух лент Мебиуса и , склеенных вдоль их граничной окружности. Тогда , и их пересечение гомотопически эквивалентны окружности.  Нетривиальная часть последовательности дает

Тривиальная часть влечёт обнуление гомологий в размерностях 3 и выше. Заметим, что , поскольку граничная окружность листа Мёбиуса оборачивается дважды вокруг его средней линии. В частности, инъективен. Следовательно, . Выбирая базис (1, 0) и (1, 1) в , получаем

Вариации и обобщения[ | ]

  • Редуцированные гомологии также удовлетворяют последовательности Майера — Вьеториса в предположении, что и имеют непустое пересечение. Эта последовательность идентична обычной, но заканчивается следующим образом:
  • Для относительных гомологий последовательность выглядит следующим образом:

См. также[ | ]