Полный дифференциал

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.

Обозначения[ | ]

Обычно дифференциал функции ${\displaystyle f}$ обозначается ${\displaystyle df}$. Некоторые авторы предпочитают обозначать ${\displaystyle {\rm {d}}f}$ шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке ${\displaystyle x_{0}}$ обозначается ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$, а иногда ${\displaystyle df_{x_{0}}}$ или ${\displaystyle df[x_{0}]}$, а также ${\displaystyle df}$, если значение ${\displaystyle x_{0}}$ ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке ${\displaystyle x_{0}}$ от ${\displaystyle h}$ может обозначаться как ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}$, а иногда ${\displaystyle df_{x_{0}}(h)}$ или ${\displaystyle df[x_{0}](h)}$, а также ${\displaystyle df(h)}$, если значение ${\displaystyle x_{0}}$ ясно из контекста.

Использование знака дифференциала[ | ]

• Знак дифференциала используется в выражении для интеграла ${\displaystyle \int f(x)\,dx}$. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал ${\displaystyle dx}$ вводится как часть определения интеграла^{[источник не указан 1134 дня]}.
• Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной ${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})}$. Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции ${\displaystyle f}$ и тождественной функции ${\displaystyle x}$ верно соотношение:

  ${\displaystyle d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{x_{0}}x.}$

Определения[ | ]

Для функций[ | ]

Дифференциал функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ в точке ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ может быть определён как линейная функция

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,}$

где ${\displaystyle f'(x_{0})}$ обозначает производную ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$, а ${\displaystyle h}$ — приращение аргумента при переходе от ${\displaystyle x_{0}}$ к ${\displaystyle x_{0}+h}$.

Таким образом ${\displaystyle df}$ есть функция двух аргументов ${\displaystyle df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)}$.

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}$, линейно зависящая от ${\displaystyle h}$, и для которой верно следующее соотношение

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}$

Для отображений[ | ]

Дифференциалом отображения ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ в точке ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ называют линейный оператор ${\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ такой, что выполняется условие

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}$

Связанные определения[ | ]

• Отображение ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ называется дифференцируемым в точке ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$, если определён дифференциал ${\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$.

Свойства[ | ]

• Матрица линейного оператора ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$ равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные ${\displaystyle f}$.
  • Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
• Дифференциал функции ${\displaystyle f}$ связан с её градиентом ${\displaystyle \nabla f}$ следующим определяющим соотношением

  ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle }$

История[ | ]

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально ${\displaystyle dx}$ применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики, за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения[ | ]

Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать, получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.

• Дифференциал (дифференциальная геометрия)
• Дифференциалы высших порядков
• Дифференциал Ито
• Внешний дифференциал
• Производная Пеано
• Производная Фреше

Литература[ | ]

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.