Полный дифференциал

У этого термина существуют и другие значения, см. Дифференциал.

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.


Обозначения[ | ]

Обычно дифференциал функции обозначается . Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке обозначается , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке от может обозначаться как , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.

Использование знака дифференциала[ | ]

  • Знак дифференциала используется в выражении для интеграла . При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал вводится как часть определения интеграла[источник не указан 1134 дня].
  • Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции и тождественной функции верно соотношение:

Определения[ | ]

Для функций[ | ]

Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

где обозначает производную в точке , а  — приращение аргумента при переходе от к .

Таким образом есть функция двух аргументов .

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция , линейно зависящая от , и для которой верно следующее соотношение

Для отображений[ | ]

Дифференциалом отображения в точке называют линейный оператор такой, что выполняется условие

Связанные определения[ | ]

  • Отображение называется дифференцируемым в точке , если определён дифференциал .

Свойства[ | ]

  • Матрица линейного оператора равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные .
    • Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
  • Дифференциал функции связан с её градиентом следующим определяющим соотношением

История[ | ]

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики, за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения[ | ]

Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать, получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.

Литература[ | ]