Полная подкатегория

В математике, подкатегория категории C — это категория S, объекты которой являются также объектами C и морфизмы которой являются также морфизмами в C, с теми же тождественными морфизмами и правилами композиции. Интуитивно, подкатегория C получается из C удалением некоторых объектов и морфизмов.

Формальное определение[ | ]

Пусть C — категория. Подкатегория S категории C задается при помощи

• подкласса объектов C, обозначаемого ob(S),
• подкласса морфизмов C, обозначаемых hom(S).

таких что выполняются следующие условия:

• для каждого X в ob(S) тождественный морфизм id_X принадлежит hom(S),
• для каждого морфизма f : X → Y в hom(S), его прообраз X и образ Y лежат в ob(S),
• для каждой пары морфизмов f, g в hom(S) композиция f o g лежит в hom(S), если она определена в C.

Из этих условий следует, что S является категорией сама по себе. Существует очевидный строгий функтор I : S → C, называемый функтором вложения.

Подкатегория S называется полной подкатегорией C, если для каждой пары объектов X, Y в S

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y).}$

Виды подкатегорий[ | ]

Подкатегория S категории C называется замкнутой относительно изоморфизма, если любой изоморфизм k : X → Y в C, такой что Y принадлежит S, также принадлежит S. Замкнутая относительно изморфизма полная подкатегория называется строго полной.

Подкатегория C — широкая, если она содержит все объекты C. В частности, единстренная широкая полная подкатегория категории C — сама C.

См. также[ | ]

• Отражающая подкатегория

Литература[ | ]

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.