Показатель преломления

Показатель преломления
Размерность безразмерная
Примечания
скаляр
Преломления луча света на границе пластикового материала с воздухом.
Падение и преломление лучей (волн) света

Показатель преломления или индекс — безразмерная физическая величина, характеризующая отличие фазовых скоростей света в двух средах. Для прозрачных изотропных сред, таких как газы[⇨], большинство жидкостей[⇨], аморфные вещества (например, стекло[⇨]), употребляют термин абсолютный показатель преломления, который обозначается латинской буквой и определяют как отношение скорости света в вакууме к фазовой скорости света в данной среде:

где  — скорость света в вакууме,  — фазовая скорость света в среде. Например, для воды показатель преломления составляет 1,333, что означает, что в ней свет движется в 1,333 раза медленнее, чем в вакууме (примерно 225 000 км/с). В случае двух произвольных сред говорят об относительном показателе преломления одной среды по отношению к другой. Если не указано иное, то обычно имеется в виду абсолютный показатель преломления. Абсолютный показатель преломления часто превышает единицу, поскольку скорость распространения света в любой среде меньше скорости света в вакууме. Однако фазовая скорость света при некоторых условиях может превышать скорость его распространения, и тогда показатель преломления может принимать значения меньше единицы[⇨].

Значение абсолютного показателя преломления зависит от состава и строения вещества, его агрегатного состояния, температуры, давления и так далее[⇨]. Для веществ показатель преломления изменяется под действием внешнего электрического поля: в жидкостях и газах[⇨], в кристаллах[⇨] или магнитного поля[⇨]. Для измерения показателя преломления применяют гониометры, рефрактометры[⇨] или эллипмометры[⇨].

Показатель преломления изменяется в зависимости от длины волны, это приводит к расщеплению белого света на составляющие цвета при преломлении. Это называется дисперсией[⇨]. Её можно наблюдать в призмах и радугах, а также в виде хроматической аберрации в линзах. Распространение света в поглощающих материалах можно описать с помощью комплексного показателя преломления[1]. Если показатель преломления рассматривать как комплексную величину:

,

где  — мнимая единица,  — показатель поглощения. Мнимая часть ответственна за затухание, а действительная часть учитывает преломление[⇨].

Понятие показателя преломления применяется во всем электромагнитном спектре, от рентгеновских лучей до радиоволн. Его также можно применить к волновым явлениям, таким как звук. В этом случае вместо скорости света используется скорость звука, и необходимо выбрать среду сравнения, отличную от вакуума[2].


Основные понятия[ | ]

Зависимость траектории луча света от угла падения при переходе из воды в воздух.

Когда свет проходит границу двух сред, то для вычисления угла преломления используют относительный показатель преломления, равный отношению абсолютных показателей преломления первой и второй сред. Относительный показатель преломления может быть больше единицы, если луч переходит в среду с большей оптической плотностью и меньшим — в противном случае[3].

Если луч света переходит из среды с меньшим показателем преломления в среду с большим показателем преломления (например, из воздуха в воду), то угол между лучом и нормалью к границе раздела уменьшается после преломления и наоборот, в случае перехода в среду с меньшей оптической плотностью угол увеличивается. Во втором случае угол преломления может превышать 90° и в таком случае преломления не происходит вообще, то есть весь свет отражается; это явление называется полное внутреннее отражение[4].

Частота света не меняется при преломлении. Поэтому длина волны света в среде уменьшается по сравнению с длиной волны в вакууме пропорционально замедлению света[5].

Связь между скоростью и углом преломления света[ | ]

Основная статья: Закон Снеллиуса
Луч света попадает из точки A в точку B за минимальное время.

Из принципа Ферма следует, что свет распространяется по пути, который требует наименьшего времени, чтобы преодолеть расстояние от одной точки до другой. Если скорость света в двух средах составляет и соответственно, то время движения из точки А в точку В зависит от выбора точки P на границе между средами:

В минимуме функции её производная равна нулю[6]:

Учитывая выражения для синусов углов, получается

и выражение упрощается до

из чего следует, что

Это соотношение также известно как закон Снеллиуса[7].

Коэффициент отражения[ | ]

Основная статья: Формулы Френеля
Часть волны проходит через границу, а часть отражается.

При падении на границу раздела двух сред только часть света проходит из среды с меньшим показателем преломления в среду с большим, а часть — отражается обратно. Тем большая часть света отражается, чем сильнее отличаются показатели преломления сред. В случае падения света по нормали к поверхности коэффициент отражения выражается как[8]:

В таком случае, при переходе луча света из воздуха в стекло (показатель преломления 1,33) отражается 4 % падающего света[9], а в случае алмаза (показатель преломления 2,42[10]) — более 17 %.

Рассчитать отражения света для произвольных углов падения и поляризации можно с помощью формул Френеля[11].

Дисперсия[ | ]

Основная статья: Дисперсия (оптика)
Дисперсия в стеклянной призме

Показатель преломления зависит от частоты света. Эта зависимость называется дисперсией.

В тех диапазонах, где вещество прозрачно, преломление увеличивается с частотой[12]. Например, вода и бесцветное стекло преломляют голубой свет сильнее, чем красный.

В природе этот эффект приводит к возникновению такого явления как радуга. Разложение света стеклянной призмой заложило основы спектрального анализа, который широко применяется в науке и технике. В то же время дисперсия приводит к трудностям в изготовлении оптических систем. Когда на стеклянную линзу падает пучок немонохроматического света, то лучи разных цветов фокусируются на разном расстоянии и вокруг контрастных деталей изображения образуется радужная кайма. Это явление получило название хроматической аберрации. Её компенсируют путем изготовления линз из разных сортов оптического стекла, имеющих разные показатели преломления[13].

Из-за зависимости показателя преломления от длины волны в таблицах уточняют частоту, при котороый производились измерения. Обычно применяется частота жёлтой линии натрия (точнее, поскольку эта спектральная линия является двойной, применяется среднее арифметическое от длин линий дублета, 5893 Å), в этом случае показатель преломления обозначается через [14].

Для оценки дисперсии в оптическом диапазоне применяют среднюю дисперсию или главную дисперсию (), которая равна разнице показателей преломления для красной (λC = 6563 Å) и синей линий водородаF = 4861 Å)[14]. Индексы F и C обозначают соответствующие фраугоферовы линий[15].

Другой характеристикой является число Аббе, равное[16]:

Большее число Аббе соответствует меньшей средней дисперсии.

Типичный вид графика зависимости показателя преломления от частоты в широком диапазоне. Резкие падения связанные с инфракрасной, ультрафиолетовой и рентгеновскими зонами поглощения.
Зависимость показателя преломления (красный) и коэффициента поглощения (зелёный) кремния от длины волны при температуре 300 К.

В широком диапазоне длин волн электромагнитного узлучения зависимость показателя преломления от частоты является нелинейной и состоит из участков, где показатель преломления возрастает с частотой — этот случай называется нормальной дисперсией (поскольку такая ситуация типична), — и небольших участков, где показатель преломления стремительно падает, что называется аномальной дисперсией. Участки аномальной дисперсии обычно расположены вблизи линий поглощения вещества[17].

Поляризация при преломлении[ | ]

Основная статья: Поляризация волн
Отражение и преломление света на границе раздела двух сред, падающего под углом Брюстера

Интенсивности преломленной и отражённой волны зависят от поляризации падающего света — s-поляризованный свет имеет более высокий кожффициент отражения, тогда как p-поляризованный лучше проходит в среду. Поэтому, даже если на границу сред падает неполяризованный свет, и преломлённый, и отраженный лучи становятся частично поляризованными (если угол падения не равен нулю). В случае, если угол между отражённым и приломлённым лучами составляет 90°, отражённый свет становится полностью поляризованным. Угол падения, при котором это происходит, называется углом Брюстера. Его значение зависит от показателя преломления второй среды относительно первого[18]:

.

В случае падения под таким углом преломлённый луч не становится полностью поляризованным, но степень его поляризации является максимальной[18].

Общее выражение[ | ]

Существует другое определение показателя преломления, связывающее его с диэлектрической проницаемостью среды ε, определяемое следующим образом

где  — диэлектрическая проницаемость вакуума[19]. Диэлеетричекая проницаемость представляется в виде . Она зависит от частоты и может приводить к комплексному коэффициенту преломления, так как [20]. Здесь,  — диэлектрическая восприимчивость, характеристика, специфичная для каждой среды, которая может принимать действительные или комплексные значения. Она связывает поляризацию материала и электрическое поле по формуле[21]

Это определение, приводит к действительным значениям для немагнитных сред[22], включает внутреннюю характеристику среды, которая позволяет установить, как падающая световая волна поляризует среду. И диэлектрическая проницаемость, и диэлектрическая восприимчивость являются действительными или комплексными величинами, поэтому показатель преломления также может иметь комплексные значения. Мнимая часть показателя преломления связана с поглощением среды, и, таким образом, существует определённая зависимость между поляризацией световой волны в среде и ослаблением последней[19]. Фактически коэффициент поглощения вычисляется из мнимой части показателя преломления по следующей формуле

где  — затухание,  — длина волны и  — мнимая часть показателя преломления.

Механизм замедления света в среде[ | ]

Причины замедления света в веществе могут быть (с упрощениями) объяснены с позиций классической электродинамики. Любая заряженная частица в поле электромагнитной волны испытывает действия периодических сил, которые вызывают её колебания. Обычно важнее действие периодического электрического поля, а не магнитного, поскольку скорости частиц в среде относительно невысокие. Под действием периодического электрического поля носители электрического заряда также начинают колебаться с определённой частотой, а следовательно сами становятся источниками электромагнитных волн[23]. Атомы всех веществ содержат электроны — лёгкие заряженные частицы, которые легко колеблются в электрическом поле волны. В случае волн оптического диапазона (частотой порядка 1015 Гц) поле, создаваемое электронами, обычно почти полностью описывает наведённое поле. Для волн меньшей частоты (инфракрасного или микроволнового излучения) заметными становятся и эффекты, вызванные перераспределением электронов между атомами в молекуле, колебания ионов в ионных кристаллах или вращение полярных молекул[24]. Волны, создаваемые каждым электроном, интерферируют между собой, создавая волну, которая распространяется в том же направлении, что и падающая волна (а также в обратном — что воспринимается как отражение от границы сред)[25]. Интерференция падающей и наведённой волн создаёт эффект замедления электромагнитной волны (хотя на самом деле, обе волны движутся с одинаковой скоростью — скоростью света)[26]. В общем случае вычисления поля, создаваемого колебаниям электронов, является сложной задачей, поскольку каждый электрон испытывает действие не только падающей волны, но и волны, созданной колебаниями всех остальных электронов[25]. Простейшая модель выводится из предположения, что электроны друг на друга не действуют, что справедливо для очень разреженных сред с низким показателем преломления, таких как газы[25].

Пусть на тонкий слой вещества толщиной падает плоская волна с циклической частотой , распространяющаяся вдоль направления . Электрическое поле в ней меняется по закону:

Интенсивность лазерных источников света сравнительно невелика и напряжённость электрического поля световой волны значительно меньше напряженности электрического поля в атоме. При таких условиях электрон в атоме можно рассматривать как гармоничный осциллятор[3] (это допустимо с позиций квантовой механики) с резонансной частотой (для большинства веществ эта частота лежит в ультрафиолетовом диапазоне). Уравнения движения электрона, находящегося в самом начале пластинки (в точке z = 0) под действием внешней периодической силы будет описываться обычным для такой системы уравнением колебаний[27]:

где и  — масса и заряд электрона соответственно.

Решение такого уравнения имеет вид[28]:

Если источник излучения находится достаточно далеко и фронт падающей волны плоский, то все электроны, которые находятся в этой плоскости, движутся одинаково. Поле, создаваемое такой заряженной плоскостью равно[28]:

где  — число заряженных частиц на единицу площади (поверхностная плотность заряда).

С другой стороны, если в пластинке волна замедляется в n раз, то уравнение волны после прохождения через пластинку будет иметь вид[29]:

Это уравнение описывает волну, идентичную падающей, но с задержкой по фазе (которую выражает первая экспонента). В случае малой толщины пластинки можно разложить первую экспоненту в ряд Тейлора[30]:

Таким образом, поле, создаваемое веществом, описывается формулой:

Сравнивая это выражение с выражением, полученным для поля, созданного колебаниями электронов плоскости, можно получить:

Поскольку число зарядов на единицу площади равна концентрации электронов , умноженной на толщину пластинки, величина показателя преломления равна[31]:

где  — электрическая постоянная.

Эта формула также описывает зависимость показателя преломления от частоты падающей волны или явление дисперсии[31]. Для правильного вычисления необходимо учитывать, что каждый атом содержит много электронов, имеющих различные резонансные частоты. Их вклады должны суммироваться в правой части уравнения[32]. В интенсивных световых потоках напряжённость электрического поля волны может быть соразмерны с внутриатомной. В таких условиях модель гармонического осциллятора становится неприменимой[3].

Эффект Поккельса[ | ]

Основная статья: Эффект Поккельса

Модель ангармонического осциллятора с |затуханием оказывается полезной для качественного рассмотрения зависимости показателя преломления в кристаллах без центра инверсии от постоянного электрического поля. Уравнение Ньбтона для ангармонического осциллатора записывается в виде[33]

где r — координата, ω0 — резонансная частота, β — постоянная ангармоничности, γ — описыввает затухание, E0 — постоянное электрическое поле, а точки над координатой обозначают полную производную по времени. Для ангармонического осциллятора положение равновесия r0 определяется уравнением[33]

При отсутствии ангармонического вклада гармонический осциллатор совершает колебания с резонансной частотой около нового положения равновесия из-за наличия электрического поля. В присутствии малого ангармонического вклада можно принять новое положение равновесия за начало координат подставив в уравнение движения r=r0+q. В виду малости ангармонического вклада колебание осциллятора в новых координатах примет вид[34]

новое уравнение имеет сдвинутую резонансную частоту, то есть при наличии ангармонизма внешнее постоянное поле не только сдвигает положение равновесия осциллятора, но и изменяет квадрат резонансной частоты на величину 2βr0. В результате сдвига резонансной частоты изменяется и закон дисперсии и соответственно показатель преломления на величину

Электрическое поле — это выделенное направление в кристалле, поэтому в среде возникнет зависимость дисперсии от направления распространения света — двулучепреломление. Это явление называется эффектом Поккельса. Как видно из качественной модели — это линейных по электрическому полю эффект[34]. Этот эффект нашёл применение в модуляторах света[35].

Воздух[ | ]

Основная статья: Воздух

Показатель преломления воздуха был предметом многочисленных исследований. Он имеет первостепенное значение для любого исследования и измерения, происходящему в атмосфере. Его значение зависит от многих параметров и было предметом измерений и формул, точность которых очень варьируется. Первое измерение выполненено с помощью рефрактометра XVIII века Исааком Ньютоном, который в 1625 году[36] заметил изменение видимых высот звёзд из-за преломления в атмосфере, что привело Эдмонда Галлея к публикации этих результатов в 1721 году для иллюстрации преломения в воздухе[37]. Позже Франсуа Араго и Жан-Батист Био оценили значение индекса в 1806 году[38].

Первая истинная формула, устанавливающая показатель преломления воздуха, была составлена Х. Барреллом и Дж. Э. Сирсом в 1938 году. Названная формулой Баррелла и Сирса, она имеет вид формулы Коши с двумя членами пропорциональными длине волны λ−2 и λ−4 для материалов, абсорбционные полосы которых находятся в ультрафиолетовой области спектра:

где n — показатель преломления, A, B, C — коэффициенты. Сейчас она устарела, но продолжает использоваться[38][39]. Для материалов с полосой поглощения в инфракрасном диапазоне и некоторых других материалов с полосой погложения в ультрафиолетовом диапазоне (например, вода), используется формула Бриота[40]

и более точная формула Селлмейера

.

Эти эмпирические законы, определяемые очень точными измерениями длины волны, применяются к прозрачным средам в видимом диапазоне свете. Модели устанавливаются с учётом того, что, находясь далеко от полос поглощения, можно рассматривать индекс как реальный (без фактора поглощения) и установить зависимость показателя преломления от длины волны. Эти формулы, как правило, точны до пятого знака после зарятой[40].

Две более свежие формулы, которые сейчас широко используются, дают лучшее приближение к показателю преломления воздуха: Филип Э. Сиддор[41] и Эдлен[42][38]. Формулы учитывают большее или меньшее количество факторов, в частности наличие водяного пара, диоксида углерода, и действительны для большей или меньшей длин волн.

Показатель преломления воздуха можно очень точно измерить с помощью интерферометрических методов, вплоть до порядка 10−7 или меньше[43]. Он примерно равен 1, 000 293 при 0 °C и 1 бар[44]. Эта величина очень близка к единице, поэтому в технической оптике используют другое определение для показателя преломления через отношение скорости света в воздухе к скорости света в среде[45].

Видимый и инфракрасный спектр[ | ]

Значение показателя преломления воздуха, действительное при определённых условиях, было одобрено Joint Commission for Spectroscopy в Риме в сентябре 1952 года записывается следующим образом[43]:

.

Эта формула действительна для длин волн от 0,2 мкм до 1,35 мкм (видимого и инфракрасного) в сухом воздухе, содержащем 0,03 % углекислого газа по объёму при 15 °C и давлении 101,325 кПа.

Радарные исследования[ | ]

Свойства воздуха в зависимости от высоты сильно меняются, что сказывается на точности действия систем глобального позиционирования. В частности для микроволн и радиоволн очень важен состав воздуха и наличие водяного пара в тропосфере замедляет сигналы радаров из-за изменения показателя преломления воздуха, что приводит к ошибкам в позиционировании. На большой высоте в ионосфере свободные электроны диспергируют волны. На показатель преломления воздуха также влияют температура и давление. В простейшем виде время задержки для сигнала радара определяется из уравнения где r — расстояние до цели, n — показатель преломления среды, c — скорость света. В реальных измерениях используют разницу времени между отражениями от различных предметов и вычисляют разницу фаз, которая связана с изменением индекса где f — частота радара. На дистанциях между 20 и 40 км этот метод хорошо работает. Изменение показателя преломления в реальной атмосфере составляет около 0,03 %, но если расстояние известно, то можно с высокой точностью (~1 %) определять изменение показателя преломления при знании соответствующей модели атмосферы[46].

Изменение индекса определяемое для данных частот, который выражается в единицах , потому что это соответствует порядку изменения коэффициента преломления между космосом и земной поверхностью[46].

N связано с параметрами окружающей среды по следующей экспериментальной формуле[46][47][48]:

где P — давление в гПа, T — температура в кельвинах, e — парциальное давление водяного пара, содержащегося в воздухе в гПа. Первый член применяется во всей толще атмосферы и связан с дипольным моментом из-за поляризации нейтральных молекул и описывает сухую атмосферу, второй и третий важны в тропосфере относятся к постоянному дипольному моменту воды и важны только в нижней тропосфере[49]. Первое слагаемое преобладает при низких температурах, где давление паров водяного пара низкое. Следовательно, можно измерить изменение N, если известны P, e и T и наоборот. Эта формула широко используется при расчёте вызванной атмосферой (из-за наличия водяного пара). Диапазон частот, где применима эта формула ограничивается микроволновой областью (1ГГц — 300 ГГц) поскольку для более высоких частот существует вклад вращательных резонансов молекул кислорода и воды[48].

В ионосфере однако вклад электронной плазы в коэффициент преломления существенен, а водяного пара — отсутствует, поэтому используют другую форму уравнения для показателя преломления:

где ne — концентрация электронов, f — частота радара. Вклад плазменной частоты (последнее слагаемое) важно на высотах более 50 км[49].

Вклад холодной плазмы в ионосферы может изменить знак показателя преломления для больших высот для микроволнового спектра. В общем случае ионосфера демонстрирует двулучепреломление[50].

Радарные технологии используются постоянно в метеорологии для определения количества капель и распределение над территорией США и западной Европы, поскольку эти территории практически полностью покрыты сетью радаров. Мощность отражённого сигнала пропорциональна радиолокационной отражаемости водяных капель и величине зависящей от комплексного показателя преломления [51].

Вода[ | ]

Основная статья: Вода

Чистая вода прозрачна для света видимого ультрафиолетового и инфракрасного диапазона спектра. В области длин волн от 0,2 мкм до 1,2 мкм и температур от −12 °C до 500 °C действительную часть показателя преломления воды можно получить из эмпирического выражения[52]:

где безразмерные переменные параметры для температуры, плотности и длины волны заданы выражениями как (в Кельвинах), (в кг/м3), (длина волны задана в микрометрах) и постоянные = 0.244257733, = 0.00974634476, = −0.00373234996, = 0.000268678472, = 0.0015892057, = 0.00245934259, = 0.90070492, = −0.0166626219, = 5.432937 и = 0.229202. Ошибка этой формулы составляет 6⋅10−5 при номальном давлении в диапазоне температур от −12 °C до 60 °C. Дополнительная неопределённость появляется при попытке вычислить показатель преломления для высоких давлениях или при переходе воды в паровую фазу[52]. Дополнительно улучшить точность в области температур от 0 °C до 40 °C можно используя выражение для плотность воды[53]

где = −3.983035 °C, = 301,797 °C, = 522528,9 °C2, = 69,34881 °C, = 999.974950 кг/м3. В то же время коэффициент абсорбции в воде для видимого спектра очень мал, что приводит к максимальному показателю поглощения в диапазоне от 300 нм до 700 нм около 6⋅10−8, а в минимуме (418 нм) ещё на два порядка меньше[54].

Оптическое стекло[ | ]

Основная статья: Оптическое стекло
Зависимость показателя преломления от числа Аббе для ряда различных оптических стёкол (красные кружки). Стекла классифицируются с использованием буквенно-цифрового а, указывающего их состав и положение на диаграмме, низисперсные стёкла находятся в левой нижней части диаграммы. Данные взяты из каталога Schott Glass.
График, показывающий уменьшение показателя преломления с увеличением длины волны для разных типов стекла
Изменение показателя преломления в зависимости от длины волны для различных стёкол. Заштрихованная зона указывает диапазон видимого света.

Широкое применение стёкол в оптике предполагает детальное знание показателя преломления конкретного типа материала. Наиболее свежие данные по свойствам различных стёкол можно найти в каталогах фирм изготовителей, поскольку они составлены с использованием международных стандартов типа ISO 7944—84 (в России ГОСТ 23136—93 и ГОСТ 3514—94, в Германии DIN 58925 и DIN 58927)[55]. Главные характеристики стёкол показаны в е стекла. Например, для N-SF6 стекла несёт информацию о показателе преломлении nd, числе Аббе Vd и плотности ρ. Из а 805254.337 следует, что nd=1,805, Vd=25,4 и ρ=3,37 г/см3[56]. Индекс d обозначает длину волны жёлтой линии гелия при длине волны 587,5618 нм. Типы оптичеких стёкол можно разделить на группы представленные на графике в координатах (nd, Vd). Часто используются и другие линии в зависимости от возможных применений. Например, индекс t используется для инфракрасной линии ртути (1013,98 нм), e — зелёной линии ртути (546,0740 нм), C — красной линии водорода (656,2725 нм), D — жёлтой линии натрия (589,2938 нм), i — ультрафиолетовой линии ртути (365,0146 нм) и другие[56]. Типичными требованиями для оптических стёкол являются требования точности для показателя преломления ±2⋅10−5 и дисперсии ±1⋅10−5. В сертификатах указывают также температуру (22 °C) и давление (1013,3 гПа). Высокие требования накладываются к однородности показателя преломления и коэффициента внутреннего пропускания. Стекло в высшей степени однородно, но допускает наличие дефектов макроструктуры, называемые свилями, пузырей и микровключений, если они не искажают фронт волны учитывая соотношение суммарной поперечной площади дефектов к объёму стекла. Для стандарта ISO3/IN010 не превышает 0,03 мм2 в объёме 100 см3 и не более 10 включений[56]. Двойное лучепреломление — это нежелательный феномен, который также характеризуется по стандарту ISO 11455 методом Сенармона — Фриделя, который ограничивает разность хода 6 нм/см (на сантиметр толщины) для оптических стёкол. Для избавления от внутренних напряжений применяют отжиг. Оптические стёкла также характеризую климатической стойкостью, стойкостью к травлению, кислотостойкостью, щёлочестойкостью и стойкостью к фосфатам, поскольку все эти нежелательные внешние факторы приводят к дефектам и изменениям поверхности[56][57].

Для обозначения оптического стекла используют сокращения. Например для крона и флинта используют заглавные буквы: ЛК — лёгкий крон; ФК — фосфатный крон; ТФК — тяжёлый фосфатный крон; К — крон; БК — баритовый крон; ТК — тяжёлый крон; СТК — сверхтяжёлый крон; ОК — особый крон и КФ — крон-флинт, КФ — крон-флинт; БФ — баритовый флинт; ТБФ — тяжёлый баритовый флинт; ЛФ — лёгкий флинт; Ф — флинт; ТФ — тяжёлый флинт; ОФ — особый флинт[58].

Связь с другими показателями[ | ]

Диэлектрическая проницаемость[ | ]

Из уравнений Максвелла можно получить формулу, связывающую скорость света в среде с его диэлектрической и магнитной проницаемостью (обозначаются буквами и соответственно)[59]

Таким образом, показатель преломления определяется характеристиками среды[60]:

Магнитная проницаемость очень близка к единице в большинстве реальных прозрачных веществ, поэтому последнюю формулу иногда упрощают до . В данном случае, если относительная диэлектрическая проницаемость ε имеет комплексную форму с вещественной и мнимой частями ε and ɛ̃, то комплексный показатель преломления связан с вещественной и мнимой частями по формуле

где

или наоборот

где  — абсолютное значение[61].

Диэлектрическая проницаемость в этой формуле может значительно отличаться от табличных значений, поскольку в таблицах обычно приведены значения проницаемости в постоянном электрическом поле. В быстро меняющемся поле (именно такое поле создаёт электромагнитная волна), молекулы не успевают поляризоваться, что приводит к уменьшению диэлектрической проницаемости. Особенно это касается полярных молекул таких как вода: диэлектрическая проницаемость воды в постоянном электрическом поле = 81, однако для полей, изменяющихся с частотой 1014 −1015 Гц (оптический диапазон), она падает до 1,78[62].

В случае кристаллов и других анизотропных сред диэлектрическая проницаемость зависит от кристаллографического направления и описывается тензором, поэтому показатель преломления является тензорной величиной[63].

Поляризуемость[ | ]

Важным уравнением, связывающим показатель преломления с микроскопическими свойствами вещества, является уравнение Лоренца — Лоренца[64]:

,

где  — электронная поляризуемость молекул, которая зависит от частоты, а  — их концентрация.

В случае, если преломляющая среда является смесью нескольких веществ, то в правой части уравнения будет стоять несколько слагаемых, каждое из которых соответствует отдельной компоненте.

Величину

,

где  — молекулярная масса, иногда называют молекулярной рефракцией[65]. Она почти не зависит от давления, температуры и даже агрегатного состояния и является характеристикой поляризуемости молекул конкретного вещества.

В простом случае газа при небольшом давлении показатель преломления выражается как[66]

.

Формула Лоренца — Лоренца выведена в предположении изотропности среды, поэтому справедлива для газов, жидкостей, аморфных тел. Однако и для многих других веществ она часто выполняется с хорошей точностью (погрешность не превышает нескольких процентов). Пригодность формулы для конкретного вещества определяется экспериментально. Для некоторых классов веществ, например, пористых материалов, погрешность может достигать десятков процентов[67]. Область применения формулы ограничивается видимым и ультрафиолетовым спектром света и исключает диапазоны поглощения в веществе[64]. Для низших частот необходимо учитывать не только электронную поляризацию, но и атомную (поскольку ионы в ионных кристаллах и атомы в молекулах успевают сместиться в поле низкой частоты).

Для полярных диэлектриков в случае волн большой длины также необходимо учитывать ориентационную поляризуемость, природа которой заключается в изменении ориентации дипольных молекул вдоль силовых линий поля. Для газов, состоящих из полярных молекул или сильно разбавленных растворов полярных веществ в неполярных растворителях, вместо формулы Лоренца — Лоренца необходимо использовать формулу Ланжевена — Дебая[24]:

,

где  — молекулярная масса,  — плотность,  — постоянная Авогадро,  — сумма атомной и электронной поляризуемости.

Плотность[ | ]

В целом вещества с большей плотностью имеют более высокий показатель преломления. Для жидкостей показатель преломления обычно больше, чем в газах, а в твёрдых телах — больше, чем у жидкостей[68]. Однако количественная связь может быть разной для разных классов веществ. Существует несколько эмпирических формул, позволяющих оценить эту связь численно[69]. Наиболее известеное уравнение, выводится из Формулы Лоренца — Лоренца:

.

Она хорошо описывает газы, а также удовлетворительно выполняется в случае изменения агрегатного состояния вещества[69].

Величину иногда называют удельной рефракцией[70].

В случае газов при низком давлении это выражение сводится к ещё более простому, известному как закон Гладстона — Дела[71]:

.

Уменьшение плотности воздуха с высотой (соответственно, уменьшение показателя преломления) вызывает рефракцию света в атмосфере, что приводит к смещению видимого положения небесных светил. Вблизи горизонта такое смещение достигает 30 угловых минут (то есть, размера диска Солнца или Луны)[72].

Для некоторых немагнитных сред точную оценку можно получить с помощью формулы, полученной Макдональдом:

.

Она лучше описывает показатель преломления для воды, бензола и других жидкостей[69].

Миражи образуются в неравномерно нагретом воздухе вследствие изменения показателя преломления в зависимости от плотности.

Также существует зависимость показателя преломления от других, связанных с плотностью величин: она уменьшается при увеличении температуры (из-за уменьшения концентрации частиц вследствие термического расширения)[68]. По тем же причинам при увеличении давления показатель преломления возрастает[73].

A scatter plot showing a strong correlation between glass density and refractive index for different glasses
Связь между показателем преломления и плотностью силикатных и боросиликатных стёкол[74].

Как правило, показатель преломления стекла увеличивается с увеличением его плотности. Однако не существует общей линейной зависимости между показателем преломления и плотностью для всех силикатных и боросиликатных стекол. Относительно высокий показатель преломления и низкая плотность могут быть получены для стёкол, содержащих оксиды лёгких металлов, таких как Li2O и MgO, тогда как противоположная тенденция наблюдается для стёкол, содержащих PbO и BaO, как показано на диаграмме справа.

Многие масла (например, оливковое масло) и этанол являются примерами жидкостей, которые обладают более высокими коэффициентами преломления, но менее плотны, чем вода, вопреки общей корреляции между плотностью и показателем преломления.

Для воздуха n — 1 пропорционально плотности газа до тех пор, пока химический состав не меняется[75]. Это означает, что оно также пропорционально давлению и обратно пропорционально температуре для идеальных газов.

В неравномерно нагретом воздухе вследствие изменений показателя преломления траектория лучей света искривляется и наблюдаются миражи. Для «нижнего» миража приповерхностный слой нагрет, поэтому показатель преломления меньше, чем у более холодного воздуха выще. Траектория световых лучей будет искривляться так, что выпуклость траектории обращена вниз и часть голубого неба будет видиться наблюдателю ниже уровня горизонта, что похоже на «воду». Для «верхних» миражей выпуклость траетории обращена вверх из-за более плотного и холодного приповерхностного слоя. В этом случае возможно заглянуть за горизонт и увидеть предметы скрытые от прямого наблюдения[76].

Производные величины[ | ]

В нефтехимии применяется производный от плотности показатель — рефрактометрическая разница или интерцепт рефракции:

.

Эта величина одинакова для углеводородов одного гомологического ряда[77].

Оптическая длина пути[ | ]

Основная статья: Оптическая длина пути
Soap bubble
Цвет мыльного пузыря определяется длиной оптического пути при прохождении света через тонкую мыльную пленку в явлении, называемом интерференцией тонких пленок .

Длина оптического пути (OPL) — это произведение геометрической длины d пути света, проходящего через систему, и показателя преломления среды, через которую он распространяется[78],

Это понятие определяет фазу света и управляет интерференцией и дифракцией света при его распространении. Согласно принципу Ферма, световые лучи можно охарактеризовать как кривые, оптимизирующие длину оптического пути[44]:68–69.

Фокусное расстояние линзы определяется её показателем преломления n и радиусами кривизны R1 и R2 образующих её поверхности. Сила тонкой линзы в воздухе определяется формулой линзы:

где f — фокусное расстояние линзы[79].

Разрешение микроскопа[ | ]

Основная статья: Микроскоп

Разрешение хорошего оптического микроскопа в основном определяется числовой апертурой (NA) его линзой объектива. Числовая апертура, в свою очередь, определяется показателем преломления n среды, заполняющей пространство между образцом и линзой, и половинным углом сбора света θ согласно[80]:6

По этой причине масляная иммерсия часто используется для получения высокого разрешения в микроскопии. В этом методе объектив погружается в каплю иммерсионного масла с высоким показателем преломления для исследования образцов[80]:14.

Волновое сопротивление[ | ]

Основная статья: Волновое сопротивление

Волновое сопротивление плоской электромагнитной волны в непроводящей среде (без затухания) определяется выражением

где  — волновое сопротивление вакуума, μ и ϵ — абсолютная магнитная и диэлектрическая проницаемости среды, εr — относительная диэлектрическая проницаемость материала, а μr — его относительная магнитная проницаемость.

Для немагнитных сред ,

Таким образом, показатель преломления в немагнитной среде определяется как отношение волнового сопротивления вакуума к волновому сопротивлению среды.

Отражательную способность между двумя средами, таким образом, можно выразить как через волновые сопротивления, так и через показатели преломления как

Нескалярная, нелинейная или неоднородная рефракция[ | ]

До сих пор предполагалось, что преломление задаётся линейными уравнениями, включающими пространственно постоянный скалярный показатель преломления. Эти предположения могут нарушаться по-разному, что включает следующие возможности.

Анизотропия[ | ]

Основная статья: Кристаллооптика

В кристаллооптике свойства кристаллов зависят от направления распространения света. Диэлектрическая проницаемость также имеет вид тензора второго ранга, и при действии электрического поля световой волны смещение электрических зарядов в общем случае не совпадает с направлением электрического поля. Вектора электрического индукции D и электрического поля E не совпадают ни по направлению ни по величине[81]. Есть однако возможность выбора прямоугольной системы координат, где направления D и E совпадают. В этой системе координат записывается уравнение для характеристичекой поверхности, называемое эллипсоидом Френеля[82]

Здесь индексы у коэффициента преломления отвечают за величину коэффициента преломления в определённом направлении в кристалле, то есть указывает на анизотропию скорости света в разных направлениях в кристалле. Скорости распространения света в этих направлениях равны

Эллипсоид Френеля имеет смысл поверхности с постоянной фазы от излучения точечного источника[83]. Существует минимум два круговых сечения для эллипсоида Френеля, первендикулярные направления к которым называются оптическими осями кристалла. Для одноосного кристалла [82].

Двулучепреломление[ | ]

Основная статья: Двулучепреломление
A crystal giving a double image of the text behind it
Кристалл кальцита расположен на бумаге с несколькими буквами, для демонстрации двойного лучепреломления.
A transparent plastic protractor with smoothly varying bright colors
Двулучепреломляющие материалы могут изменять цвет при помещении между скрещенными поляризаторами. Это основа такого метода исследований как фотоупругость.

В некоторых материалах показатель преломления зависит от поляризации и направления распространения света[84]. Это явление называется двойным лучепреломлением или оптической анизотропией.

В простейшей форме, одноосном двулучепреломлении, материал имеет только одно особое направление. Эта ось известна как оптическая ось материала[44]:230. Свет с линейной поляризацией, перпендикулярной этой оси, будет иметь обычный показатель преломления no, в то время как свет с параллельной поляризацией будет иметь необычный показатель преломления ne[44]:236. Двулучепреломление материала возникает из-за разницы между этими показателями преломления Δn = ne — no[44]:237. Свет, распространяющийся в направлении оптической оси, не будет зависеть от двойного лучепреломления, поскольку показатель преломления будет no не зависящей от поляризации. Для других направлений распространения, свет разделится на два линейно поляризованных луча. Для света, движущегося перпендикулярно оптической оси, лучи будут иметь одинаковые направления[44]:233. Это можно использовать для изменения направления поляризации линейно поляризованного света или для преобразования линейной, круговой и эллиптической поляризации при работе с волновыми пластинами[44]:237.

Многие кристаллы обладают естественным двойным лучепреломлением, но изотропные материалы, такие как пластмассы и стекло, также могут часто обладать двойным лучепреломлением посредством выделения предпочтительного направления, например, при действии внешней силы или электрического поля. Этот эффект называется фотоупругостью и может использоваться для выявления напряжений в конструкциях. Двулучепреломляющий материал помещается между скрещенными поляризаторами. Изменение эффекта двойного лучепреломления изменяет поляризацию и, следовательно, долю света, которая проходит через второй поляризатор[85]. Разница между показателями преломления обыкновенной и необыкновенных волн пропорциональна давлению P

где  — постоянная, характеризующая вещество[86].

В более общем случае трипреломляющих материалов, описываются кристаллооптикой, а диэлектрическая проницаемость является тензором второго ранга (матрица 3 на 3). В этом случае распространение света невозможно просто описать показателями преломления, за исключением поляризаций вдоль главных осей.

Эффект Керра[ | ]

Основная статья: Эффект Керра

Двулучепреломление возникает при приложении постоянного или переменного электрического поля к изотропной среде. Впервые наблюдался Керром (в 1875 году) для диэлектрических жидкостей, но встречается в твёрдых телах и в гораздо более простых системах: газах (в 1930 году)[87], что позволило объяснить происхождение эффекта[88]. При приложении сильного электрического поля к жидкости она становится аналогом одноосного кристалла с оптической осью, совпадающей с направлением электрического поля[87]. Разница между показателями преломления необыкновенной и обыкновенной волн не зависит от ориентации электрического поля E, поскольку она пропорциональна его квадрату

где  — постоянная для среды. Эта величина обычно положительна для многих жидкостей, но может принимать отрицательные значения для этилового эфира, многих масел и спиртов. Если выразить сдвиг фаз через длину волн, l — толщина образца, B=κ/λ обозначает постоянную Керра[89]. Постоянная Керра принимает очень малые значения (длина волны 546,0 нм) для газов порядка 10−15 В/м2 и для жидкостей порядка 10−12 В/м2[90].

Эффект Коттона — Мутона[ | ]

Основная статья: Эффект Коттона — Мутона

По аналогии с эффектом Керра возможно наблюдать двулучепреломление в изотропных средах в сильном магнитном поле[91]. При распространении света перпендикулярно этому полю разница в коэффициентах преломления оказывается пропорциональной квадрату напряжённости магнитного поля H

где B — постоянная для среды. Если выразить разность хода лучей через длину волн, l — толщина образца, C=B/λ обозначает постоянную Коттона — Мутона[91].

Неоднородность[ | ]

Illustration with gradually bending rays of light in a thick slab of glass
Линза с градиентным показателем преломления с параболическим изменением показателя преломления (n) в зависимости от радиального расстояния (x). Объектив фокусирует свет так же, как и обычный объектив.

Если показатель преломления среды непостоянен, но постепенно изменяется в зависимости от положения, материал известен как среда с градиентным показателем или GRIN и описывается оптикой с градиентным показателем[44]:273. Свет, проходящий через такую среду, можно преломлять или фокусировать, что можно использовать для создания линз, некоторых оптических волокон и других устройств. Внедрение элементов GRIN в конструкцию оптической системы может значительно упростить систему, уменьшив количество элементов на треть при сохранении общей производительности[44]:276. Хрусталик человеческого глаза является примером линзы GRIN с показателем преломления, изменяющимся от примерно 1,406 во внутреннем ядре до примерно 1,386 в менее плотной коре[44]:203.

Вариации показателя преломления[ | ]

Yeast cells with dark borders to the upper left and bright borders to lower right
Изображение дрожжевых клеток при дифференциальной интерференционной контрастной микроскопии.

Неокрашенные биологические структуры кажутся в основном прозрачными при микроскопии в светлом поле, поскольку большинство клеточных структур не ослабляют заметно свет. Тем не менее, изменение материалов, из которых состоят эти структуры, также сопровождается изменением показателя преломления. Следующие методы преобразуют такие вариации в измеримые разности амплитуд:

Для измерения пространственного изменения показателя преломления в образце используются методы фазово-контрастной визуализации. Эти методы позволяют детектировать изменения фазы световой волны, выходящей из образца. Фаза пропорциональна длине оптического пути, пройденного световым лучом, и, таким образом, даёт меру интеграла показателя преломления вдоль пути луча. Фазу нельзя измерить непосредственно на оптических или более высоких частотах, поэтому её необходимо преобразовать в интенсивность путём интерференции с опорным лучом. В визуальном спектре это делается с помощью фазово-контрастной микроскопии Цернике, дифференциальной интерференционно-контрастной микроскопии (ДИК) или интерферометрии.

Фазово-контрастная микроскопия Цернике добавляет фазовый сдвиг в низкочастотные компоненты изображения с помощью фазосдвигающего кольца в плоскости Фурье образца, так что высокочастотные части пространственного изображения могут интерферировать с низкочастотными компонентами опорного луча. В DIC освещение разделяется на два луча, которые имеют разную поляризацию, по-разному сдвинуты по фазе и смещены в поперечном направлении относительно друг друга. После прохождения образца два пучка заставляют интерферировать, давая изображение производной длины оптического пути по разнице поперечного смещения[80]. В интерферометрии освещение разделяется на два луча частично отражающим зеркалом. Один из лучей пропускается через образец, прежде чем они объединяются, для интерференции и создания прямого изображения фазовых сдвигов. Если вариации длины оптического пути превышают длину волны, изображение будет содержать полосы.

Существует несколько методов фазово-контрастной рентгеновской визуализации для определения двумерного или трёхмерного пространственного распределения показателя преломления образцов в рентгеновском режиме.[92].

Нелинейная оптика[ | ]

Основная статья: Нелинейная оптика

Показатель преломления изменяется в электрическом поле — это явление известно как эффект Керра наблюдается в жидкостях и газах или эффект Покельса в кристаллах. Поскольку сама электромагнитная волна также несёт переменное электрическое поле, показатель преломления зависит от интенсивности света. Зависимость имеет вид , где  — интенсивность падающей волны,  — нелинейный индекс рефракции, который имеет значение 10−14 — 10−16 см2/Вт[93], поэтому эффект становится заметным только при высокой интенсивности света. Для мощных лазеров он проявляется в явлениях самофокусировки, генерации второй гармоники и тому подобное.

С появлением лазера были открыты первые нелинейные эффекты в оптике. Показатель преломления, возникающий в результате взаимодействия между светом и средой, первая из которых вызывает локальную поляризацию последней, при наличии сильных падающих мощностей рабочий режим будет отклоняться от линейности. Тогда показатель преломления становится зависимым от интенсивности падающей волны. : где n0 — линейный показатель преломления, справедливый для средних и слабых интенсивностей, а γ — коэффициент нелинейного показателя[94].

Изменение показателя преломления в зависимости от напряженности электрического поля часто называют оптическим эффектом Керра по аналогии с электрооптическим эффектом Керра, где изменение показателя пропорционально силе электростатического поля, приложенного к среде. Можно найти выражение для нелинейного показателя преломления, наблюдая поляризуемость материала, зная, что . Полная линейная и нелинейная поляризация среды описывается следующим образом:

,

где P — поляризация, χ — тензор диэлектрической восприимчивости, нелинейной частью которого является тензор χ(3), E — электрическое поле, а ε0 — диэлектрическая проницаемость вакуума. Зная, что , а также :

Теперь в линейной области показатель преломления можно записать , либо . Тогда

[95].

Явления, возникающие из-за зависимости показателя преломления от интенсивности света, включают, среди прочего, автофокусировку, фазовую самомодуляцию, фазовое сопряжение и генерацию оптических солитонов[96].

Однако эти очень сложные проблемы нелинейной оптики ограничиваются средами, подверженными воздействию света очень высокой интенсивности и внутренними характеристиками, благоприятствующими нелинейности.

Особые случаи[ | ]

Показатель преломления меньше единицы[ | ]

Фазовая скорость света в веществе может быть больше скорости света в вакууме (это не противоречит СТО, так как энергия и информация передаётся групповой скоростью, не превышающей скорости света). В таких случаях показатель преломления может быть меньше единицы. В оптическом диапазоне показатель преломления практически всегда больше единицы, однако в ультрафиолетовом, особенно в рентгеновском диапазоне показатели меньше единицы являются типичными[97].

Высокая фазовая скорость рентгеновского излучения в веществе обусловлена взаимодействием излучения и электронных оболочек атомов — в мягком рентгеновском диапазоне лежит много линий поглощения (K-серии). Показатель преломления для этого диапазона очень близок к единице, и часто записывается вв виде , где  — положительное и имеет значение порядка 10−4..10−6[98].

Такие показатели преломления приводят к особым эффектам, например, вогнутые линзы для такого излучения работают как выпуклые и наоборот. Поскольку вакуум является оптически более непрозрачной средой, чем вещество, то при падении на вещество под малым углом рентгеновское излучение может испытывать полное внутреннее отражение[99]. Этот эффект используют в рентгеновских телескопах .

Комплексный показатель преломления[ | ]

В отличие от идеальных сред, для реальных сред часто необходимо учитывать затухание сигнала при прохождении через них. Это удобно учесть, задав комплексный показатель преломления[66]:

Здесь действительная часть n — показатель преломления, которая связана с фазовой скоростью, в то время как мнимая часть κ называется показателем поглощения (действительная величина) света в веществе — хотя κ также может относиться к массовому коэффициенту поглощения[100]:3 и указывать на величину ослабления электромагнитной волны при её распространении в среде[44]:128.

То, что κ соответствует затуханию, можно увидеть, подставив этот показатель преломления в выражение для электрического поля плоской электромагнитной волны, распространяющейся в z-направлении. Это можно сделать, связав комплексное волновое число k с комплексным показателем преломления n через k = 2πn/λ0, где λ0 — длина волны света в вакууме. После подстановки комплексного показателя преломления в это уравнение[101]

экспонента распадется на две, одна из которых имеет действительное отрицательное значение показателя. Таким образом, интенсивность света в веществе зависит от толщины по показательному закону. Здесь κ даёт экспоненциальное затухание, как и ожидалось из закона Бера — Ламберта. Поскольку напряжённость пропорциональна квадрату электрического поля, то она будет зависеть от толщины материала как exp (−4πκz/λ0), а коэффициент поглощения станет α = 4πκ/λ0.[44]:128. Эта величина также связано с глубиной проникновения света в среду, расстояние, после которого интенсивность уменьшается до 1/e раз, δp = 1/α = λ0/4πκ).

И n, и κ зависят от частоты. В большинстве случаев κ > 0 (свет поглощается) или κ = 0 (свет распространяется бесконечно без потерь). В особых случаях, особенно в активной среде лазеров, также возможен случай κ < 0, что соответствует усилению света.

Альтернативное соглашение использует n = n вместо n = n + , но считается, что κ > 0 по прежнему соответствует потерям. Следовательно, эти два соглашения несовместимы, и их не следует путать. Разница связана с определением синусоидальной зависимости от времени как Re [exp (- iωt)] по сравнению с Re [exp (+ iωt)].

Диэлектрические потери и отличная от нуля проводимость по постоянному току в материалах вызывают поглощение. Хорошие диэлектрические материалы, такие как стекло, имеют чрезвычайно низкую проводимость по постоянному току, а на низких частотах диэлектрические потери также незначительны, что приводит к почти полному отсутствию поглощения. Однако на более высоких частотах (например, в видимом свете) диэлектрические потери могут значительно увеличить поглощение, снижая прозрачность материала в области этих частот.

Действительная n и мнимая κ части комплексного показателя преломления связаны соотношениями Крамерса — Кронига. В 1986 году А. Р. Форухи и И. Блумер вывели уравнение, описывающее κ как функцию энергии фотона E, применимое к аморфным материалам. Затем Форухи и Блумер применили соотношение Крамерса — Кронига, чтобы вывести соответствующее уравнение для n как функции E. Тот же формализм был использован для кристаллических материалов Форухи и Блумером в 1988 году.

Для рентгеновского и крайнего ультрафиолетового излучения комплексный показатель преломления незначительно отклоняется от единицы и обычно имеет действительную часть меньше единицы. Поэтому обычно записывается как n = 1 − δ + (или n = 1 − δ с альтернативным соглашением, упомянутым выше)[1]. Значительно выше атомной резонансной частоты дельту можно определить как

где  — классический радиус электрона,  — длина волны рентгеновского излучения, а  — электронная плотность. Предполагается, что электронная плотность — это просто количество электронов на атом Z, умноженное на атомную плотность, но для более точного расчета показателя преломления необходимо заменить Z на комплексный атомный форм-фактор. . Следует, что

с участием и обычно порядка 10−5 и 10−6.

В атмосферных приложениях коэффициент преломления принимается равным N = n — 1. Атмосферная рефракция часто выражается как N = 106 (n — 1)[102] или N = 108 (n — 1). Коэффициенты умножения используются, потому что показатель преломления для воздуха, n отклоняется от единицы не более чем на несколько частей на десять тысяч.

С другой стороны, молярная рефракция является мерой общей поляризуемости одного моля вещества и может быть рассчитана на основе показателя преломления как

где ρ — плотность, M — молярная масса[103]:93.

Комплексные показатели преломления применяются:

  • для описания взаимодействия света с непрозрачными веществами, такими как металлы (в этом случае показатель поглощения больше единицы, и волна полностью поглощается через несколько микрометров)
  • для описания прохождения электромагнитной волны через среду, если её частота близка к частоты поглощения атомов этой среды (зоны аномальной дисперсии)[104]
  • для описания преломления полярными жидкостями (например, водой), особенно в случае низкочастотного излучения[105]
  • в других случаях, когда слой вещества достаточно толстый, чтобы необходимо было учитывать поглощение.
Оптические постоянные некоторых металлов для длины волны 589,3 нм[106]
Металл
Натрий 2,61 0,05 99,8
Серебро 3,64 0,18 95,0
Магний 4,42 0,37 92,9
Золото 2,82 0,37 85,1
Золото электролитическое 2,83 0,47 81,5
Ртуть 4,41 1,62 73,3
Медь цельная 2,62 0,64 70,1
Никель цельный 3,32 1,79 62,0
Никель электролитический 3,48 2,01 62,1
Никель распылённый 1,97 1,30 43,3
Железо распылённое 1,63 1,51 32,6

Для диэлектрической проницаемости в модели Лоренца можно записать дижлектрическую проницаемость в виде[107]

где γ — коэффициент затухание колебаний. Для металлов, где присутствуют свободные носители заряда частоту ω0 можно не учитывать и диэлектрическая проницаемость представляется в виде[108]

где  — плазменная частота и N — число свободных носителей в металле. Отсюда видно, что возможно рассмотреть несколько предельных случаев, когда распространение волн отличаются качественно. В пределе низких частот металл ведёт себя как среда с комплексным показателем преломления[108]. Если представить комплексный коэффициент преломления для проводящей среды в виде , то коэффициент отражения от металлической поверхности при нормальном падении принимает вид

откуда можно определить мнимую часть комплексного показателя преломления. Некоторые значения показателя преломления для металлов представлены в таблице[106]. В пределе больших частот, где можно отбросить вклад мнимой части в диэлектрической проницаемости и получить величину меньшую единице при что означет чисто мнимую величину показателя преломления, или эквивалентно сильному заруханию в металле (не связано с диссипацией как в случае с γ) — происходит полное отражение. А при обратной зависимости показатель преломления становится меньшим единицы и металл становится прорачным для излучения[108].

Отрицательный показатель преломления[ | ]

Основная статья: Метаматериал
Массив кольцевых разомкнутых резонаторов имеющий отрицательный показатель преломления для микроволнового излучения

В 1967 году В. Г. Веселаго высказал гипотезу о существовании материалов с отрицательным значением показателя преломления[109].

В 1999 году Джон Пендри из Имперского колледжа в Лондоне предложил конструкции искусственных материалов, обладавших отрицательными эффективными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей[110][111]. В 2000 году Дэвид Смит (англ. David R. Smith) с коллегами из Калифорнийского университета в Сан-Диего, использовав комбинацию элементов конструкций Джона Пендри и его рекомендации, экспериментально доказал возможность реализации искусственных материалов с отрицательным значением показателя преломления[110][111][112]. Подобные метаматериалы обладают рядом интересных свойств[110][111][113]:

Измерение[ | ]

В оптической минералогии шлифы используются для изучения горных пород. Метод основан на различных показателях преломления различных минералов.
Принципиальная схема рефрактометра.
Рефрактометр.

Для измерения показателя преломления можно использовать несколько оптических метрологических приборов. Эти инструменты включают, среди прочего, рефрактометры, которые представляют собой тип интерферометра, гониометры, определённые призмы и так далее. Использование этих методов актуально для исследования прозрачности материалов.

Показатель преломления можно измерить с помощью V-призмы, когда образец прозрачного материала помещается в V-образную выемку стеклянного блока, индекс которого точно известен. Отклонение светового луча позволяет определить показатель преломления образца[114].

Гониометр позволяет измерять показатель преломления прозрачного материала по нескольким спектральным линиям. Призма из этого материала используется для измерения минимального угла отклонения на нескольких длинах волн[114].

Рефрактометр представляет собой тип интерферометра с оптическими путями проходящими в разных средах, один — в вакууме, а другой — в измеряемом материале[115].

Недостатком интерферометрических методов является то, что их трудно использовать на объектах сложных форм и они могут оказаться разрушительными, поскольку необходимо измерять образец с четко определённой геометрией, что исключает, например, художественную стеклянную посуду. В этих случаях используются измерения углов преломления, угла Брюстера или даже поиск жидкости с эквивалентным показателем преломления путём применения к дефектам, но обычно не позволяют достичь такой же высокой точности, как измерения с помощью гониометра или интерферометра[116].

Самым распространенным методом измерения показателя преломления является измерение угла полного внутреннего отражения. Преимуществами этого метода является малое количество вещества, необходимое для исследования, а также их компактность — например, в рефрактометре Аббе жидкость заливается в тонкую щель между гипотенузными гранями двух прямоугольных призм, имеющих высокий показатель преломления[117]. Этот метод позволяет достичь точности ± 0,0002[118][119]. По схожему принципу работает рефрактометр Пульфриха, но в нём наоборот, свет направляется параллельно границе раздела двух сред и измеряется угол, на который он отклонился.

Поскольку квантовая механика предсказывает, что частицы могут вести себя как волны, также возможно измерить показатель преломления волн материи. Такое измерение проводилось, в частности, на атомах лития и натрия с использованием интерферометрического метода[120].

Нелинейный показатель преломления можно измерить, наблюдая за фазовым сдвигом тестового светового луча путем перекрёстной фазовой модуляции[en] (ФКМ), но также благодаря эллиптическому вращению поляризации, анализу спектрального профиля волны или спектральному анализу при фазовой самомодуляции или возвращению к нелинейному показателю путём определения критической мощности самофокусировки. Также возможно измерение индекса с помощью спектральной интерферометрии суперконтинуумов[121].

Измерение группового показателя преломления позволяет измерить оптический путь луча света и, следовательно, длину оптического волокна. Методом измерения группового индекса является рефлектометрия с низкой оптической когерентностью[122][123].

Для мелких твёрдых частиц используют иммерсионный метод — частицы погружают в ряд жидкостей с известными показателями преломления и наблюдают за образующейся интерференционной картиной. Таким образом находится пара жидкостей, одна из которых будет иметь меньший показатель преломления чем исследуемое вещество, а вторая — больше[124].

Эллипсометрия[ | ]

Основная статья: Эллипсометрия
Схема эллипсометрической установки

Показатели преломления и поглощения n и κ не могут быть измерены напрямую для тонких плёнок. Они должны определяться косвенно из измеряемых величин, которые зависят от них. Например, таких как отражательная способность, R, или коэффициент пропускания, T, или эллипсометрические параметры, ψ и δ. Схема эллипсометра представлена на рисунке справа. Свет от источника проходит через монохроматический фильтр и коллиматор и поляризуется призмой, то есть падающий свет представляет собой линейно поляризованную волну, которую можно разделить на две поляризации относительно плоскости падения: s- (перпендикулярная плоскости падения и параллельная плоскости образца) и p-компоненты (лежащая в плоскости падения). После отражения от поверхности свет проходит через анализатор и регистрируется детектором. Компенсатор служит для изменения фазового сдвига между s- и p-компонентами. Изменяя ориентацию анализатора можно получить информацию об коэффициенте отражения s-волны и p-волны[125]. Относительная разность фаз между s- и p- компонентами равна[126]

где δs и δp — фазовые постоянные для падающего света соответствующие s- и p-компонентам, а штриховые величины относятся к отрпжённой волне. Относительное изменение амплитуд описывается формулой

где Es и Ep — амплитуды для падающего света соответствующие s- и p-компонентам, а штриховые величины относятся к отрпжённой волне. Основное уравнение эллипсометрии запишется в виде

где Rs и Rp — коэффициенты отражения соответствующие s- и p-компонентам волны. Эти параметры устанавливаются из модели для отражающей поверхности с использованием формул Френеля[126]. Подгоняя теоретическую модель к измеренным значениям ψ и Δ с помощью математического, можно получить значения n и κ[127].

Примеры[ | ]

Показатели преломления nD (жёлтый дублет натрия, λD = 589,3 нм) некоторых сред приведены в таблице.

Показатели преломления для длины волны 589,3 нм
Тип среды Среда Температура, °С Значение
Кристаллы[128] LiF 20 1,3920
NaCl 20 1,5442
KCl 20 1,4870
KBr 20 1,5552
Оптические стёкла[129] ЛК3 (Лёгкий крон) 20 1,4874
К8 (Крон) 20 1,5163
ТК4 (Тяжёлый крон) 20 1,6111
СТК9 (Сверхтяжёлый крон) 20 1,7424
Ф1 (Флинт) 20 1,6128
ТФ10 (Тяжёлый флинт) 20 1,8060
СТФ3 (Сверхтяжёлый флинт) 20 2,1862[130]
Драгоценные камни[128] Алмаз белый - 2,417
Берилл - 1,571—1,599
Изумруд - 1,588—1,595
Сапфир белый - 1,768—1,771
Сапфир зелёный - 1,770—1,779
Жидкости[128] Вода дистиллированная 20 1,3330
Бензол 20—25 1,5014
Глицерин 20—25 1,4730
Кислота серная 20—25 1,4290
Кислота соляная 20—25 1,2540
Масло анисовое 20—25 1,560
Масло подсолнечное 20—25 1,470
Масло оливковое 20—25 1,467
Спирт этиловый 20—25 1,3612

Применения[ | ]

Показатель преломления — важнейший параметр элементов оптической системы. От него зависит оптическая сила линзы или дисперсия призмы.

Поскольку показатель преломления является одним из основных физических свойств вещества, он используется для идентификации вещества, определения его чистоты или измерения его концентрации. Таким образом исследуются твёрдые тела (стекла, кристаллы и драгоценные камни), газы и жидкости. Часто на основе показателя преломления проверяется концентрация веществ в жидких растворах. Инструмент, используемый для измерения показателя преломления — рефрактометр.

Коэффициент отражения материала определяется показателем преломления, но покрытие оптических элементов материалами с другими индексами допускает модификацию отражения света с использованием интерференции при многократном отражении тграниц раздела, что используется в просветляющих покрытиях для оптических стёкол. Кроме того также многократные покрытия используется при цветоделительных покрытий, интерференционных фильтров и так далее. Просветляющее покрытие помогает уменьшить отражение в пять раз в видимой области спектра[131].

Существование угла полного внутреннего отражения позволяет использовать этот эффект для построения световых волноводов или оптоволоко, состоящих из сердцевины и оболочки с более низким показателем преломления, для волоконно-оптической связи. Чаще всего используют материалы с индексами 1,62 и 1,52. Стеклянное оптоволокно представляет собой волокна с диаметром от 5 до 200 микрометров[132]. Возможно использовать многомодовые волокна с градиентным изменение профиля показателя преломления в зависимости от диаметра оптоволокна[133].

Оптоволокно оказалось полезным для использования в оптоволоконных лазерах. В 1990-е годы был создан эрбиевый четырёхваттный лазер[134], а после 2000 года иттербиевые лазеры, показали значительный рост мощности[135].

При добавлении меребра в оптическое стекло его свойства могут изменяться при облучении ультрафиолетом — происходит затемнение, которое может исчезать после прекращения облучения. Этот эффект используется при производстве стёкол для очков с затемняемыми стёклами[136]. Очки-хамелеоны просветляются в помещениях, где нет ультрафиолета.

Процесс записи информации об амплитуде, фазе и направлении светового когерентного поля, называемый голографией формирует на фотопластине дифракционную решётку, представляющею собой трёхмерную среду с модулированным комплексным показателем преломления. Голография используется в основном для получения трёхмерных изображений[137].

Помещая объектив микроскопа в среду с более высоким показателем преломления (масло) возможно увеличить числовую апертуру, что позволяет повысить разрешение микроскопа[138]. Это подход используется также в иммерсионной литографии[139].

Кристаллы, в которых наблюдается двулучепреломление могут быть использованы для генерации второй гармоними, так как при некоторой ориентации распространения волны коэффициенты преломления для обыкновенного и необыкновенного луча совпадают, то позволяет синхронизировать фазы первой и второй гармоники для максимального преобразования. Это явление наблюдается в сегнетоэлектриках и называется естественным синхронизмом[140].

История[ | ]

Первым из европейцев, кто изучал преломление света, был Архимед. Исследуя преломление на границе воды с воздухом, он правильно описал несколько законов преломления и зрения (например, то, что падающий и преломленный луч лежат в одной плоскости, а люди воспринимают изображение так, будто лучи света всегда распространяются прямолинейно). Также он установил, что угол преломления всегда меньше угола падения (когда луч падает из воздуха в воду)[141].

Через 100 лет после Архимеда вопрос рефракции изучал другой выдающийся античный учёный Птолемей. Он измерял углы преломления при переходе света между воздухом и водой, воздухом и стеклом, водой и стеклом[142], пытаясь найти зависимость между ними, однако считал, что такая зависимость имеет вид квадратичной функции, поэтому выведенное им уравнение лишь приближенно описывало законы преломления[141]. Впрочем, это было первое математическое уравнение для этого процесса. В формуле Птолемея присутствовал аналог показателя преломления — число, зависело от пары сред и определяло зависимость угла падения от угла преломления. Птолемей связывал сильное преломление с разницей плотности сред. Также он, анализируя видимое движение звезд, сделал правильное предположение, что свет испытывает преломление при переходе в атмосферу из окружающего пространства, подобно преломления при переходе из воздуха в воду (а следовательно, что оптическая плотность воздуха отличается от пустоты), однако не смог описать это явление количественно.

Правильно сформулировать закон преломления впервые смог персидский ученый Ибн Сахл[en] в 984 году[141]. Его работы не были известны в Европе, поэтому сейчас этот закон известен как закон Снеллиуса в честь Виллеброрда Снелла, который открыл его в 1621 году.

В 1658 году Пьер Ферма сформулировал принцип наименьшего времени, который позволил связать преломление на границе сред со скоростью света в них[143].

В начале XVIII века показатели преломления многих веществ измерили Исаак Ньютон и Фрэнсис Хоксби[144]. Ньютон также заметил связь между плотностью среды и показателем преломления и смог сформулировать эмпирическое уравнение, связывало эти величины (известное сейчас как правило Ньютона — Лапласа), согласно которому величина прямо пропорциональна плотности[145]. Также Ньютон в 1666 году описал явление дисперсии при прохождении света через стеклянную призму[146].

Развивая проведённые Ньютоном исследования дисперсии, в 1802 году Волластон, а позже, независимо от него, Фраунгофер в 1814 году создали спектроскоп и наблюдали тёмные линии в спектре Солнца и звезд[147].

Stipple engraving of Thomas Young
Томас Янг ввел термин « показатель преломления» .

Томас Янг предположительно был аервым человеком, который использовал и изобрёл название «показатель преломления» в 1807 году. В то же время он изменил это значение преломляющей силы на одно число вместо традиционного отношения двух чисел. У этого соотношения был недостаток, заключающийся в различии внешнего вида. Ньютон, назвавший это «пропорцией синусов падения и преломления», записал это как отношение двух чисел, например «529 к 396» (или «почти 4 к 3» для воды). Хоксби, назвавший это «коэффициентом преломления», записал его как отношение с фиксированным числителем, например «от 10000 до 7451,9» (для мочи)[148]. Хаттон записал это как отношение с фиксированным знаменателем, например 1,3358 к 1 (вода).

В 1807 году Янг не использовал символ для показателя преломления. В более поздние годы другие начали использовать другие символы: n, m и µ[149][150][151]. Символ n постепенно возобладал. В 1913 году был открыт эффект двулучепреломления Зеебеком, и независимо от него Брюстером в 1915 году[152].

Также Волластон создал первый рефрактометр. В 1869 году Аббе усовершенствовал его схему и создал модель рефрактометра (рефрактометр Аббе), схема которого является одной из самых популярных и по сей день[153]. Термин «показатель преломления» (англ. index of refraction впервые использовал Томас Юнг в 1807[154]. Вероятно, около 1840 Фокс Талбот впервые наблюдал явление аномальной дисперсии, однако количественно проанализировал его Пьер Леру в 1862 году[155]. Максвелл использовал свои уравнения для выражения скорости света в среде через диэлектрическую и магнитную проницаемости связанные с показателем преломления по формуле . Но из-за отсутствия микроскопической теории уранения Максвелла не смогли описать дисперсию света[156].

В период с 1869 до 1875 год датский физик Людвиг Лоренц сформулировал в нескольких работах теорию, которая связывала показатель преломления с микроскопическими свойствами веществ — электронной поляризуемостью. Такой же результат в 1878 году независимо получил голландский физик Хендрик Лоренц, который не был знаком с работами Людвига Лоренца, поскольку те были написаны на датском языке. Выведеное ими уравнение известно как формула Лоренца — Лоренца[145]. В 1875 году Керр наблюдал двойное лучепреломление для изотропных веществ (жидкие дижлектрики) помешённых в электрическое поле, а годом позже обнаружил магнитооптический эффект в изотропной среде[87]. Оба эти эффекты являются проявлениями нелинейной оптики. В 1910 году Ланжевен построил теорию эффекта Керра[157].

Кундт измерил комплексный коэффициент преломления для металлов в 1888 году, а теорию отражения от поверхнности металлов, основываясь на формулах Френеля, построил Друде годом позже[158].

В 1933 году Вуд открыл прозрачность щёлочных металлов в области ультрафиолетовых частот[108]. Стекло может изменять индекс при облучении ультрафиолетом, этот бэффект был открыт и запатентован в 1937 году Дональдом Стуки[159].

В 1947 году Габор построил теорию получения информации о фазе волны на фотографии, но не смог реализовать построение такого изображения из-за отсутствия когерентных источников излучения. После создания лазеров ы 1964 году Эмметт Лейт и Юрис Упатниекс записали первую голограмму изобразившую игрушечные поезд и птицу[160]. В СССР в 1962 году Юрий Денисюк предложил использовать голографию Габора и метод цветной фотографии Липпмана, где используется три монохроматических лазера основных цветов, чтобы получить цветную голограмму[161]. Габор получил Нобелевскую премию по физике в 1971 году[162].

В 1961 году Элиес Снитцер (англ. Elias Snitzer) и Уилл Хикс (англ. Will Hicks) продемонстрировали передачу лазерного излучения по оптоволокну[163]. В 1964 году Снитцер создал первый лазер, в качестве рабочей среды которого использовалось оптическое волокно, легированное неодимом[164]. Слабое затухание в оптических волоках позволило использовать их как средство передачи сигналов на большие расстояния[165].

Примечания[ | ]

  1. 1 2 Attwood, David. Soft X-rays and extreme ultraviolet radiation: principles and applications. — 1999. — P. 60. — ISBN 978-0-521-02997-1.
  2. Kinsler, Lawrence E. Fundamentals of Acoustics. — 2000. — P. 136. — ISBN 978-0-471-84789-2.
  3. 1 2 3 Прохоров, 1994, Преломления показатель.
  4. Прохоров, 1994, Полное внутреннее отражение.
  5. Фейнман, Лейтон, 1967, p. 86.
  6. Ландсберг, 2003, с. 252.
  7. Прохоров, 1998, Снелля закон.
  8. Light at Interfaces. University of Delaware (2010).
  9. Ландсберг, 2003, с. 434.
  10. Optical constants of C (Carbon, diamond, graphite, graphene, carbon nanotubes). Refractive index database.
  11. Ландсберг, 2003, с. 432.
  12. Кузнецов С.И. Нормальная и аномальная дисперсия.
  13. Вакуленко, 2008, c. 30 (Апохромат).
  14. 1 2 Барковский, Горелик, Городенцева, 1963, p. 105.
  15. Index of Refraction of Liquids (Refractometry). Universität Leipzig.
  16. Dr. Rüdiger Paschotta. Chromatic Dispersion. RP Photonics Encyclopedia.
  17. Прохоров, 1988, p. 211.
  18. 1 2 Савельев, 1988, p. 432.
  19. 1 2 Taillet, 2006, p. 216
  20. Chartier, 1997, p. 431
  21. Chartier, 1997, p. 429
  22. Born & Wolf, 1993, p. 14
  23. Фейнман, Лейтон, 1967, p. 84.
  24. 1 2 Прохоров, 1983, p. 344.
  25. 1 2 3 Фейнман, Лейтон, 1967, p. 85.
  26. Фейнман, Лейтон, 1967, p. 83.
  27. Фейнман, Лейтон, 1967, p. 89.
  28. 1 2 Фейнман, Лейтон, 1967, p. 90.
  29. Фейнман, Лейтон, 1967, p. 87.
  30. Фейнман, Лейтон, 1967, p. 88.
  31. 1 2 Фейнман, Лейтон, 1967, p. 91.
  32. Фейнман, Лейтон, 1967, p. 94.
  33. 1 2 Сивухин, 1980, с. 562.
  34. 1 2 Сивухин, 1980, с. 563.
  35. Сивухин, 1980, с. 564.
  36. Gjertsen, 1986
  37. Halley, 1720
  38. 1 2 3 Refractivity of air (англ.). Дата обращения: 18 février 2013.
  39. Barrell & Sears, 1939
  40. 1 2 Chartier, 1997, p. 437
  41. Ciddór, 1996, p. 1566—1573
  42. Edlén, 1966
  43. 1 2 Bach & Neuroth, 1998
  44. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Zajac, Alfred; Hecht, Eugene; Cummings, Eugene. Optics, 4 ed. : [англ.]. — 2003. — ISBN 978-0-321-18878-6.
  45. Шрёдер & Трайбер, 2006, с. 21.
  46. 1 2 3 Fabry, Frush & Kilambi, 1997
  47. Bevis et al., 1994
  48. 1 2 Hartmann & Leitinger, 1984, p. 114.
  49. 1 2 Fukao, 2013, p. 26.
  50. Hartmann & Leitinger, 1984.
  51. Fabry, 2015, p. 5, 32—33.
  52. 1 2 The International Association for the Properties of Water and Steam (September 1997), Release on the Refractive Index of Ordinary Water Substance as a Function of Wavelength, Temperature, and Pressure (IAPWS R9-97), <http://www.iapws.org/relguide/rindex.pdf>. Проверено 8 октября 2008. 
  53. METROLOGY ATICLE N°18: Calculation of the density of water (англ.). https://metgen.pagesperso-orange.fr/. MetGen. Дата обращения: 17 мая 2021.
  54. Pope, R. M.; Fry, E. S. (1997). “Absorption spectrum (380–700 nm) of pure water. II. Integrating cavity measurements”. Applied Optics. 36 (33): 8710—8723. Bibcode:1997ApOpt..36.8710P. DOI:10.1364/AO.36.008710. PMID 18264420.
  55. Шрёдер & Трайбер, 2006, с. 44.
  56. 1 2 3 4 Оптическое стекло 2020. www.schott.com. Schott AG (2020). Дата обращения: 16 мая 2021.
  57. Шрёдер & Трайбер, 2006, с. 47.
  58. Шрёдер & Трайбер, 2006, с. 46.
  59. Сивухин, 1977, p. 358.
  60. Прохоров, 1994.
  61. Wooten, Frederick. Optical Properties of Solids. — New York City : Academic Press, 1972. — P. 49. — ISBN 978-0-12-763450-0.(online pdf) Архивировано 3 октября 2011 года.
  62. Optical constants of H2O, D2O (Water, heavy water, ice). Refractive index database.
  63. Шен, 1980, p. 67.
  64. 1 2 Прохоров, 1983, p. 352.
  65. Прохоров, 1992, p. 195.
  66. 1 2 Прохоров, 1994, p. 107.
  67. Schwarz, Daniel; Wormeester, Herbert; Poelsema, Bene (2011). “Validity of Lorentz–Lorenz equation in porosimetry studies”. Thin Solid Films. 519 (9): 2994—2997. DOI:10.1016/j.tsf.2010.12.053.
  68. 1 2 Иоффе, 1983, p. 23.
  69. 1 2 3 Burnett, D. (1927). “The Relation between Refractive Index and Density”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 23 (8): 907—911. DOI:10.1017/S0305004100013773.
  70. Прохоров, 1998, p. 211.
  71. Куинн, 1985, p. 133.
  72. Рефракція світла в атмосфері. Український астрономічний портал. Дата обращения: 7 апреля 2021.
  73. Иоффе, 1983, p. 25.
  74. Calculation of the Refractive Index of Glasses. Statistical Calculation and Development of Glass Properties. Архивировано 15 октября 2007 года.
  75. Stone. Index of refraction of air. Engineering metrology toolbox. National Institute of Standards and Technology (NIST) (28 декабря 2011). Дата обращения: 11 января 2014. Архивировано 11 января 2014 года.
  76. Тарасов, Л. В. Физика в природе: книга для учащихся. — М.: Просвещение, 1988. — С. 40—41. — 351 с. — ISBN 5-09-001516-3.
  77. Проскуряков, Драбкин, 1981, p. 57.
  78. R. Paschotta, article on optical thickness Архивировано 22 марта 2015 года. in the Encyclopedia of Laser Physics and Technology Архивировано 13 августа 2015 года., accessed on 2014-09-08
  79. Carl R. Nave, page on the Lens-Maker’s Formula Архивировано 26 сентября 2014 года. in HyperPhysics Архивировано 28 октября 2007 года., Department of Physics and Astronomy, Georgia State University, accessed on 2014-09-08
  80. 1 2 3 Carlsson. Light microscopy. Дата обращения: 2 января 2015. Архивировано 2 апреля 2015 года.
  81. Бебчук и др., 1988, с. 21.
  82. 1 2 Бебчук и др., 1988, с. 22.
  83. Френеля эллисоид // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
  84. R. Paschotta, article on birefringence Архивировано 3 июля 2015 года. in the Encyclopedia of Laser Physics and Technology Архивировано 13 августа 2015 года., accessed on 2014-09-09
  85. Ландсберг, 2003, с. 479—480.
  86. Ландсберг, 2003, с. 480.
  87. 1 2 3 Ландсберг, 2003, с. 481.
  88. Ландсберг, 2003, с. 485.
  89. Ландсберг, 2003, с. 482.
  90. Таблицы физических величин / Под ред. акад. И. К. Кикоина. — М.: Атомиздат, 1976. — С. 775. — 1008 с.
  91. 1 2 Коттона — Мутона эффект // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  92. Fitzgerald, Richard (July 2000). “Phase‐Sensitive X‐Ray Imaging”. Physics Today. 53 (7). Bibcode:2000PhT....53g..23F. DOI:10.1063/1.1292471.
  93. Dr. Rüdiger Paschotta. Nonlinear Index. RP Photonics Encyclopedia (2008).
  94. Barton & Guillemet, 2005, p. 117
  95. Boyd, 2008, p. 207—208
  96. Boyd, 2008, p. 329—375
  97. Prof. David Attwood. Reflection And Refraction. berkeley.edu (2009).
  98. X-ray refraction. x-ray-optics.de.
  99. Сторижко, В.Е.; Ильяшенко, М.В.; Молодкин, В.Б.; Гаевский, А.Ю.; Денисенко, В.Л.; Денисенко, О.И.; Вершинский, С.А. (2010). “Способы фокусировки рентгеновского излучения” (PDF). Успехи физики металлов. 11: 1—17.
  100. Dresselhaus. Solid State Physics Part II Optical Properties of Solids. Course 6.732 Solid State Physics. MIT (1999). Дата обращения: 5 января 2015. Архивировано 24 июля 2015 года.
  101. Фейнман, Лейтон, 1977, p. 58.
  102. Aparicio, Josep M. (2011-06-02). “An evaluation of the expression of the atmospheric refractivity for GPS signals”. Journal of Geophysical Research. 116 (D11): D11104. Bibcode:2011JGRD..11611104A. DOI:10.1029/2010JD015214.
  103. Born, Max. Principles of Optics / Max Born, Emil Wolf. — 1999. — ISBN 978-0-521-78449-8.
  104. Фейнман, Лейтон, 1967, p. 96.
  105. Fatuzzo, E.; Mason, P.R. (1967). “A calculation of the complex dielectric constant of a polar liquid by the librating molecule method”. Proceedings of the Physical Society. 90 (3). DOI:10.1088/0370-1328/90/3/318.
  106. 1 2 Ландсберг, 2003, с. 449.
  107. Архипкин & Патрин, 2006, с. 107.
  108. 1 2 3 4 Архипкин & Патрин, 2006, с. 123.
  109. Веселаго В. Г.  // УФН. — 1967. — Т. 92. — С. 517.
  110. 1 2 3 Слюсар, Вадим. Метаматериалы в антенной технике: история и основные принципы // Электроника: наука, технология, бизнес. — 2009. — № 7. — С. 70—79.
  111. 1 2 3 Слюсар, Вадим. Метаматериалы в антенной технике: основные принципы и результаты // Первая миля. Last Mile (Приложение к журналу «Электроника: Наука, Технология, Бизнес»). — 2010. — № 3—4. — С. 44—60.
  112. John B. Pendry; David R. Smith. Reversing Light with Negative Refraction (англ.) // Physics Today : magazine [1]. — 2004. — Vol. 57, no. 6. — P. 37—43.
  113. Дж. Пендри, Д. Смит. В поисках суперлинзы. Elementy.ru. Дата обращения: 30 июля 2011. Архивировано 22 августа 2011 года.
  114. 1 2  (англ.)PDFRefractive index and dispersion. Schott AG. Дата обращения: 19 février 2013.
  115. [2] в «Книгах Google»
  116. Dufrenne, Maës & Maës, 2005, p. 443
  117. Костіна Т.А. Рефрактометрія. Фармацевтична енциклопедія.
  118. Aminot & Kérouel, 2004
  119. Briant, Denis & Hipeaux, 1997
  120. Jacquey et al., 2007
  121. Wilkes, 2007, p. 7
  122. Traduction du terme anglais : (англ.)Optical Low Coherence Reflectometry
  123. [3] в «Книгах Google»
  124. Вакуленко, 2008, с. 317—318 (Метод імерсійний).
  125. Горшков, 1974, с. 48.
  126. 1 2 Горшков, 1974, с. 43.
  127. Горшков, 1974, с. 51.
  128. 1 2 3 Бабичев А. П., Бабушкина Н. А., Братковский А. М. и др. Физические величины/ / Под ред. И. С. Григорьева и Е. З. Мейлихова. — Справочник. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — 1232 с. — 50 000 экз. — ISBN 5-283-04013-5.
  129. ГОСТ 13659-78. Стекло оптическое бесцветное. Физико-химические характеристики. Основные параметры. — М: Издательство стандартов, 1999. — 27 с.
  130. Бесцветное оптическое стекло СССР. Каталог. Под ред. Петровского Г. Т. — М.: Дом оптики, 1990. — 131 с. — 3000 экз.
  131. Шрёдер & Трайбер, 2006, с. 97.
  132. Шрёдер & Трайбер, 2006, с. 152—153.
  133. Шрёдер & Трайбер, 2006, с. 155.
  134. Gan, 2006, p. 228.
  135. Agrawal, 2008, p. 179.
  136. Шрёдер & Трайбер, 2006, с. 169.
  137. Лейт, Эммет; Упатниек, Юрис. Фотографирование с помощью лазера (рус.) // «Наука и жизнь» : журнал. — 1965. — № 11. — С. 22—31. — ISSN 0028-1263.
  138. Иммерсионная система // Казахстан. Национальная энциклопедия. — Алматы: Қазақ энциклопедиясы, 2005. — Т. II. — ISBN 9965-9746-3-2.
  139. Wei, Yayi. Advanced processes for 193-nm immersion lithography. — Bellingham, Wash : SPIE, 2009. — ISBN 0819475572.
  140. Бурсиан, Э. В. Сегнетоэлектрики в нелинейной оптике // Соросовский образовательный журнал. — 2001. — Т. 8. — С. 98—102.
  141. 1 2 3 Waldemar H. Lehn and Siebren van der Werf. Atmospheric refraction: a history. University of Manitoba (2005).
  142. Jean-Luc Godet. A short recall about the history of the concept of refractive index. Université d'Angers.
  143. Fermat’s principle. Britannica (1998).
  144. Hutton, 1815, p. 299.
  145. 1 2 Kragh, Helge (2018). “The Lorenz-Lorentz Formula: Origin and Early History”. Substantia. 2 (2): 7—18. DOI:10.13128/substantia-56.
  146. A spectrum of colours: the dispersion of light. Institute of Physics.
  147. Bursey, Maurice M. (2017). “A brief history of spectroscopy”. AccessScience. DOI:10.1036/1097-8542.BR0213171.
  148. Hauksbee, Francis (1710). “A Description of the Apparatus for Making Experiments on the Refractions of Fluids”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 27 (325—336). DOI:10.1098/rstl.1710.0015.
  149. von Fraunhofer, Joseph (1817). “Bestimmung des Brechungs und Farbenzerstreuungs Vermogens verschiedener Glasarten”. Denkschriften der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu München. 5. Exponent des Brechungsverhältnisses is index of refraction
  150. Brewster, David (1815). “On the structure of doubly refracting crystals”. Philosophical Magazine. 45 (202). DOI:10.1080/14786441508638398.
  151. Herschel, John F.W. On the Theory of Light. — 1828. — P. 368.
  152. Ландсберг, 2003, с. 479.
  153. History of refractometer. refractometer.pl.
  154. Wolfe, 2020, ch. 32.
  155. Williams, S. R. (1908). “A Study of Dispersion in Highly Absorbing Media by Means of Channeled Spectra”. Physical Review. 27 (1): 27—32. DOI:10.1103/PhysRevSeriesI.27.27.
  156. Ландсберг, 2003, с. 21.
  157. Ландсберг, 2003, с. 486.
  158. Ландсберг, 2003, с. 448.
  159. Paul, 1990, p. 333.
  160. Лейт & Упатниек, 1965.
  161. Власенко, В. И. Глава IV. Изобразительная голография // Техника объёмной фотографии / А. Б. Долецкая. — М.: «Искусство», 1978. — С. 67—95. — 102 с. — 50 000 экз.
  162. Ash, Eric A. (1979). “Dennis Gabor, 1900–1979”. Nature. 280 (5721): 431—433. Bibcode:1979Natur.280..431A. DOI:10.1038/280431a0. PMID 379651.
  163. Hayes, 2000, p. 8.
  164. Koester, Snitzer, 1964.
  165. Hayes, 2000, pp. 9—10.

Литература[ | ]