Подмодуль

Подмодуль ― подмножество модуля, являющееся подгруппой его аддитивной группы и замкнутое относительно умножения на элементы основного кольца. В частности, левый (правый) идеал кольца является подмодулем левого (правого) -модуля .



Связанные определения[ | ]

  • Подмодуль, отличный от всего модуля, называется собственным.
  • Подмодуль называется больши́м (или существенным), если он имеет ненулевое пересечение с любым другим ненулевым подмодулем.
    • Например, целые числа образуют большой подмодуль группы рациональных чисел.
  • Каждый модуль является большим подмодулем своей инъективной оболочки.
  • Подмодуль модуля называется малым (или косущественным), если для любого подмодуля равенство влечет .
    • Малым оказывается, например, всякий собственный подмодуль цепного модуля.

Свойства[ | ]

  • Множество подмодулей данного модуля, упорядоченное по включению, является полной дедекиндовой решёткой.
  • Сумма всех малых подмодулей совпадает с пересечением всех максимальных подмодулей.
  • Левый идеал принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда мал в для всякого конечно порождённого левого модуля .
  • Элементы малого подмодуля являются необразующими, то есть любая система образующих модуля остается таковой после удаления любого из этих элементов (это, конечно, не означает, что их можно удалить все сразу!).
  • Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов модуля совпадает с множеством эндоморфизмов, имеющих малый образ.
  • Если гомоморфизм модуля в модуль , то множество
        
    оказывается подмодулем модуля и называется ядром гомоморфизма .
    • Каждый подмодуль служит ядром некоторого гомоморфизма.

Литература[ | ]

  • Каш Ф. Модули и кольца, — пер. с нем., М., 1981;
  • Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, — пер. с англ., т. 1—2, М., 1977—79.