Плотность измеримого множества

Пло́тность (измери́мого) мно́жества ${\displaystyle E}$ на вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$, в точке ${\displaystyle x}$ ― предел (если он существует) отношения

${\displaystyle \lim _{|D|\to 0}|E\cap D|/|D|}$

где ${\displaystyle D}$ ― произвольный отрезок, содержащий ${\displaystyle x}$, а ${\displaystyle |D|}$ ― его мера Лебега. Если вместо меры рассматривать внешнюю меру, то получится определение внешней плотности ${\displaystyle E}$ в точке ${\displaystyle x}$.

Аналогично вводится плотность в ${\displaystyle n}$-мерном пространстве. При этом длины отрезков заменяются объёмами соответствующих ${\displaystyle n}$-мерных параллелепипедов с гранями, параллельными координатным плоскостям, а предел рассматривается при стремлении к нулю диаметра параллелепипеда.

Для множеств из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ оказывается полезным понятие правой (левой) плотности ${\displaystyle E}$ в точке ${\displaystyle x}$, которое получается из общего определения, если в нём рассматривать лишь отрезки ${\displaystyle D}$, имеющие левым (правым) концом точку ${\displaystyle x}$.

Связанные определения[ | ]

• Точка плотности — точка, в которой плотность равна единице.
  • Почти все точки измеримого множества суть его точки плотности.
• Точка разрежения — точка, в которой плотность равна нулю.

См. также[ | ]

• Теорема о точках плотности

Литература[ | ]

• Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М., 1974.