Ортогональная матрица

Ортогона́льная ма́трица — квадратная матрица с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную матрицу равен единичной матрице[1]:

или, что эквивалентно, её обратная матрица (которая обязательно существует) равна транспонированной матрице:

Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица.

Ортогональная матрица с определителем называется специальной ортогональной.


Свойства[ | ]

и
где ,  — порядок матрицы, а  — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Это же справедливо и для столбцов.

  • Определитель ортогональной матрицы равен , что следует из свойств определителей:
  • Множество ортогональных матриц порядка над полем образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается или (если опускается, то предполагается ).
  • Линейный оператор, заданный ортогональной матрицей, переводит ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
  • Матрица вращения является специальной ортогональной. Матрица отражения является ортогональной.
  • Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида
и

Примеры[ | ]

  •  — пример матрицы поворота
  •  — матрица поворота, выраженная через углы Эйлера

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 4-е изд. — М: Наука, 1999. — стр. 158. — ISBN 5-02-015235-8.