Олимпиадная математика

Олимпиадные задачи в математике — термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход.


Описание[ | ]

Олимпиадные задачи получили своё название от популярных соревнований школьников и студентов, так называемых математических олимпиад. Олимпиадные задачи отличаются от остальных школьных задач нестандартностью решений. Цель создания задач этой категории — воспитание в будущих математиках таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон. Не случайно академик А. Н. Колмогоров в своей речи на открытии сравнил работу математика с «чередой решения (порою больших и трудных) олимпиадных задач».[1]

Внешняя простота олимпиадных задач — их условия и решения должны быть понятны любому школьнику — обманчива. Лучшие олимпиадные задачи затрагивают глубокие проблемы из самых разных областей математики. Иногда этой кажущейся простотой пользовались не по назначению: во времена СССР на приёмных экзаменах в ВУЗы с помощью таких задач отсеивали абитуриентов нежелательных национальностей. Неудивительно, что олимпиадные задачи из арсенала таких приёмных комиссий стали называть «гробами».[2]

Победители математических олимпиад имеют льготы при поступлении во многие ВУЗы [3].

Решение олимпиадных задач может потребовать существенного количества времени даже от сильного (но ненатренированного на их решение) профессионального математика.[4]

Олимпиадные задачи можно найти в Интернете,[5] в периодических изданиях (журналы Квант, Математическое просвещение), а также в виде отдельных сборников. Они широко используются в работе математических кружков, заочных школ[6] и для таких математических соревнований как олимпиады, турниры городов и математические бои.

Большой вклад в популяризацию методов решения олимпиадных задач внесли публикации журнала «Квант», книги серий «Популярные лекции по математике», «Библиотека математического кружка»[7], сборники олимпиадных задач, выпускавшиеся издательствами «Наука», «Просвещение», переводные — издательством «Мир»[8], и другие книги, а также многочисленные веб-сайты, посвящённые олимпиадным задачам.

Примеры[ | ]

Задача олимпиадного типа, известная со времён Евклида:

Доказать, что существует бесконечно много простых чисел.

Задача решается методом от противного. Предположив, что простых чисел конечное число N, рассматриваем число, следующее за их произведением . Очевидно, что оно не делится ни на одно из использованных в произведении простых чисел, давая в остатке 1. Значит, либо оно само простое, либо оно делится на простое число, не учтённое в нашем (предположительно полном) списке. В любом случае, простых чисел, по крайней мере, N+1. Противоречие с предположением о конечности. Q.E.D.

Типы задач[ | ]

Несмотря на уникальность олимпиадных задач, можно всё-таки выделить несколько типичных идей, составляющих суть задач. Разумеется, по определению, такой список будет неполным.

Методы решения[ | ]

Не существует единого метода решения олимпиадных задач. Напротив, количество методов постоянно пополняется. Некоторые задачи можно решить несколькими разными методами или комбинацией методов. Характерная особенность олимпиадных задач в том, что решение с виду несложной проблемы может потребовать применения методов, использующихся в серьёзных математических исследованиях. Ниже приводится (по определению) неполный список методов решения олимпиадных задач:

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. Н. Розов, М. Смолянский. XII Всесоюзной Олимпиады школьников по математике // Квант. — 1978. — № 10.
  2. А. Шень. Вступительные экзамены на мехмат = Entrance Examinations to the Mekh-mat // Mathematical Intelligencer. — 1994. — Т. 16. — С. 6-10.
  3. Льготы при поступлении в МФТИ на сайте МФТИ
  4. I. Vardi. Solutions to the year 2000 International Mathematical Olympiad // Preprint IHES/M/00/80. — 2000.
  5. ЗАДАЧИ. Проект МЦНМО при участии школы 57.
  6. ВЗМШ — Всесоюзная Заочная Математическая Школа (недоступная ссылка). Дата обращения: 12 апреля 2006. Архивировано 14 июня 2006 года.
  7. Книги серии «Библиотека математического кружка» на сайте МЦНМО
  8. Интернет-библиотека по математике, раздел «Сборники олимпиадных задач»

Литература[ | ]