Обратный элемент

Обра́тный элеме́нт — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).


Определения[ | ]

Пусть  — множество на котором определена бинарная операция, обозначаемая точкой (), с нейтральным элементом . Пусть  — пара произвольных элементов множества . Если справедливо равенство то называется правым обратным (или обра́тным спра́ва) к .

Аналогичным образом, если выполнено равенство то называется левым обратным (обра́тным сле́ва) к

Элемент , являющийся обратным к и справа, и слева, то есть такой, что
    
называется просто обратным к и обозначается . Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.

Замечания[ | ]

  • Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация , то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается .
  • Вообще говоря, один и тот же элемент может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и левые не обязаны совпадать с правыми.

Свойства[ | ]

Пусть операция ассоциативна. Тогда если для элемента определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Следствие: в моноиде у каждого элемента имеется не более одного обратного. Все обратимые элементы моноида образуют группу; эта группа не пуста, так как содержит по крайней мере нейтральный элемент.

Примеры[ | ]

Множество Бинарная операция Обратный элемент
Вещественные числа (сложение) (противоположное число)
Вещественные числа, не равные нулю (умножение) (обратное число)
Функции вида (композиция функций) (обратная функция)

См. также[ | ]