Нётеров модуль

Нётеров мо́дуль — это модуль, в котором выполняется условие обрыва возрастающих цепей для его подмодулей, упорядоченных по отношению включения.

Исторически, Гильберт был первым математиком, исследовавшим свойства конечнопорождённости подмодулей. В частности, он доказал теорему Гильберта о базисе, согласно которой любой идеал в кольце многочленов от нескольких переменных является конечнопорождённым (это свойство эквивалентно нётеровости). Однако, свойство нётеровости было названо в честь Эмми Нётер, которая первой осознала степень его важности.


Эквивалентные определения и свойства[ | ]

Существует несколько эквивалентных определений нётерова модуля:

  • Любая последовательность подмодулей вида стабилизируется, то есть начиная с некоторого
  • В любом непустом множестве подмодулей M существует максимальный элемент. Данное условие эквивалентно первому для любого частично упорядоченного множества (доказательство использует аксиому выбора).
  • Каждый подмодуль модуля M является конечнопорождённым.

Последнее определение особенно полезно, и доказательство его эквивалентности исходному определению элементарно:

  1. Если модуль удовлетворяет свойству из последнего определения, то он удовлетворяет и свойству из первого. В самом деле, если любой подмодуль конечно порожден, то взяв модуль, являющийся объединением всех подмодулей цепи (1) имеем, что он порожден, скажем, элементами . Тогда существует некоторый элемент цепочки , содержащий эти xi и поэтому равный объединению всех Mi. Отсюда
  2. Обратно, если М над кольцом A удовлетворяет свойству из первого определения (эквивалентно, из второго определения) и N — его подмодуль, то во множестве всех конечнопорождённых подмодулей модуля N существует максимальный подмодуль . Если то взяв элемент и построив модуль (или в некоммутативном случае для правого модуля) мы построим больший конечнопорождённый модуль против предположения. Следовательно, N конечно порождён.

Пусть  — некоторый модуль и  — его подмодуль. является нётеровым тогда и только тогда, когда и являются нётеровыми.

Примеры[ | ]

  • Целые числа, рассматриваемые как модуль на кольцом целых чисел, являются нётеровым модулем.
  • Пусть  — полное кольцо матриц над произвольным полем и  — множество векторов-столбцов над этим полем, то можно сделать модулем над задав умножение элемента модуля на элемент кольца как умножение столбца на матрицу. Тогда является нётеровым модулем.
  • Каждый модуль, являющийся конечным множеством, нётеров.
  • Каждый конечнопорождённый правый модуль над правым нётеровым кольцом нётеров (см. определение ниже).

Связь с другими структурами[ | ]

Ассоциативное кольцо с единицей называется нётеровым, если оно является нётеровым модулем над самим собой, то есть удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для идеалов. В некоммутативном случае выделяют левые нётеровы и правые нётеровы кольца, если же кольцо является нётеровым слева и нётеровым справа, его называют просто нётеровым.

Условие нётеровости может быть определено также для бимодулей: бимодуль называется нётеровым, если он удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для своих подбимодулей. Может случиться, что бимодуль является нётеровым, тогда как структуры левого и правого модуля на нём не являются нётеровыми.

См. также[ | ]

Литература[ | ]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.:Мир, 1972
  • Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968