Нётерово кольцо

Нётерово кольцо́ — тип колец, обобщение кольца главных идеалов. Названы в честь Эмми Нётер.


Определение[ | ]

Нётерово кольцоассоциативное кольцо с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей:

всякая последовательность идеалов (для некоммутативных колец — левых идеалов) стабилизируется, то есть начиная с некоторого .

Замечания[ | ]

  • Если в определении заменить возрастающие цепи на убывающие, то получается определение артинова кольца.

Примеры[ | ]

  • Поле, поскольку в нём всего два идеала — и само поле.
  • Кольцо главных идеалов.
    • Например, кольцо многочленов от одной переменной над полем. (Однако не всякое нётерово кольцо является кольцом главных идеалов.)
  • Кольца многочленов от конечного числа переменных над полем являются нётеровыми (но не являются кольцами главных идеалов при числе переменных, большем 1).

Свойства[ | ]

См. также[ | ]

Литература[ | ]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, — М.: Мир, 1972.
  • Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра, — М.: ИЛ, 1963.
  • Ленг С. Алгебра, — М.: Мир, 1968.