Неприводимый многочлен

Неприводимый многочленмногочлен, неразложимый на нетривиальные (то есть не константы) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Свойство неприводимости зависит от кольца (поля) коэффициентов (см. раздел примеров).


Определение[ | ]

Многочлен от переменных над полем называется неприводимым над полем , если он является простым элементом кольца , то есть не является константой и не представим в виде произведения , где и ― многочлены с коэффициентами из , отличные от констант.

Аналогично определяется многочлен, неприводимый над целостным кольцом.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

абсолютно неприводим.

Корни неприводимого многочлена называются сопряжёнными.

Свойства[ | ]

  • Кольцо многочленов факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причём это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей и порядка сомножителей.
  • Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причём многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант. Действительно, любой вещественный многочлен, не имеющий действительных корней (что возможно только для чётных степеней) имеет хотя бы один чисто комплексный корень , а тогда корнем данного многочлена является и сопряжённый к этому корню элемент ; следовательно, этот многочлен делится на вещественный многочлен , что для многочлена степени 3 или выше означает приводимость.
  • Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен любой наперёд заданной степени; например, многочлен , где и ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
  • Неприводимый многочлен над полем характеристики 0 не может иметь кратных корней ни в этом поле, ни в любом его расширении.
  • Если конечное поле из элементов, а — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из .
  • Предположим, что целозамкнутое кольцо с полем частных (например и ) и ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда в , причём и имеют старший коэффициент 1, то .
  • Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности . Если степень многочлена совпадает со степенью многочлена и неприводим над полем частных области , то не существует разложения , где и отличны от константы.
    • Например, многочлен со старшим коэффициентом прост в (и, следовательно, неприводим в ), если прост многочлен , полученный из редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

Примеры[ | ]

Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:

,
,
,
,
, где .

Над кольцом целых чисел первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).

Над полем рациональных чисел первые три многочлена являются приводимыми, два других — неприводимыми.

Над полем действительных чисел первые четыре многочлена — приводимые, но является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например, разложение многочлена в поле действительных чисел имеет вид . Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.

Над полем комплексных чисел все пять многочленов — приводимые. Фактически каждый отличный от константы многочлен над может быть разложен на множители вида:

,

где  — степень многочлена,  — старший коэффициент,  — корни . Поэтому единственными неприводимыми многочленами над являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).

Конечные поля[ | ]

Многочлены с целочисленными коэффициентами, которые являются неприводимыми над полем , могут быть приводимыми над конечным полем. Например, многочлен является неприводимым над , но над полем из двух элементов мы имеем:

Литература[ | ]

  • Ван-дер-Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Мир, 1976. — 648 с.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963.