Неполная бета-функция

У этого термина существуют и другие значения, см. Бета.
Это статья о бета-функции Эйлера. См. также статью о бета-функции Дирихле.
График бета-функции при вещественных аргументах

В математике бета-функцией (-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

определённая при , .

Бета-функция была изучена Эйлером, Лежандром[когда?], а название ей дал Жак Бине.


Свойства[ | ]

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

где  — Гамма-функция;

где  — нисходящий факториал, равный .

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

Бета-функция удовлетворяет двумерному разностному уравнению:

Производные[ | ]

Частные производные у бета-функции следующие:

где  — дигамма-функция.

Неполная бета-функция[ | ]

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку на интеграл с переменным верхним пределом:

При неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

Свойства [ | ]

Примечания[ | ]

Литература[ | ]

Кузнецов Д. С. Специальные функции (1962) — 249 с.

См. также[ | ]