В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 11 января 2012 года. |
Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.
Пусть — множество
с определённой на нём бинарной операцией «
». Элемент
называется нейтральным относительно
(умножения), если
В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент , для которого
и правый нейтральный элемент , для которого
В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент , и нейтральный справа элемент
, то они обязаны совпадать (так как
).
Множество | Бинарная операция | Нейтральный элемент |
---|---|---|
Вещественные числа | число 0 | |
Вещественные числа | число 1 | |
Вещественные числа | число 0 (нейтральный справа) | |
Вещественные числа | число 1 (нейтральный) | |
Расширенная числовая прямая | число 1 (нейтральный справа) | |
Векторное пространство | ||
Матрицы размера |
нулевая матрица | |
Матрицы размера |
единичная матрица | |
Функции вида |
тождественное отображение | |
Символьные строки | конкатенация | пустая строка |
Расширенная числовая прямая | ||
Расширенная числовая прямая | ||
Подмножества множества |
||
Множества | ||
Исчисление высказываний | ||
Исчисление высказываний |
В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.
Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но и (иногда) групповую операцию в абелевых группах.
В теории решёток нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».