Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен
. В математике, физике мнимая единица обозначается латинской буквой
(в электротехнике:
)[1][2].
Введение мнимой единицы позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Одной из причин введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение
с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение
не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры». Существуют и другие области, в которых комплексные числа приносят большую пользу.
Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: при наличии трёх вещественных корней для получения двух из них формула Кардано требовала извлечения квадратных корней из отрицательных чисел. Вплоть до конца XIX века наряду с символом
использовалось обозначение
однако современные источники предписывают во избежание ошибок под знаком радикала помещать только неотрицательные выражения[3][4].
Термин «мнимая единица» может употребляться не только для комплексных чисел, но и для их обобщений[⇨].
Степени мнимой единицы[ | ]
Степени
повторяются в цикле:










Что может быть записано для любой степени в виде:




где n — любое целое число.
Отсюда:
где mod 4 — это остаток от деления на 4.
Возведение в комплексную степень является многозначной функцией.
Например, величина
является многозначной, и представляет бесконечное множество вещественных чисел (
):
, где
.
При
получаем число
, соответствующее главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы.
Доказательство

Альтернативным путем является представление основания в показательной форме:

Нетрудно убедиться, что оба полученных выражения тождественно равны.
Найдем модуль и аргумент числа
:


, где 
![{\displaystyle \varphi =\lim _{x\to +0}\left(\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}\right)=\lim _{x\to +0}\left(\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}\right)=\left[{\color {white}\vdots }\operatorname {arctg} (+\infty ){\color {white}\vdots }\right]={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50166f92ce4efd0828bea2b90bd73998516f93bc)

Подставим полученные значения для модуля и аргумента в выражение для
:

Таким образом, получаем:
, где
∎
И очевидно, что:

Ранее было найдено главное значение аргумента мнимой единицы (т.е. такое, что попадает в промежуток
):
![{\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}\in (-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1af055ce11348c173d90aa458ca1fee7a39420)
Подставляя его вместо
в выражение для
, получим искомое частное значение:
∎
Также верно, что
.
Факториал[ | ]
Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

Также
[5]
Корни из мнимой единицы[ | ]
Корни квадратные из мнимой единицы
Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)
В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n значений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

В частности,
и
Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

Иные мнимые единицы[ | ]
В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i».
Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения
.
К вопросу об интерпретации и названии[ | ]
 | Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i.Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в. |  |
Обозначения[ | ]
Обычное обозначение
, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать
, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока:
.
В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j
.
В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как I
.
См.также[ | ]
Примечания[ | ]
- ↑ Комплексное число // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
- ↑ Мнимая единица // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 708.
- ↑ Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — С. 49. — 591 с.
- ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 2-е изд. — М.: Наука, 1970. — С. 33. — 720 с.
- ↑ "abs(i!)", WolframAlpha.
Ссылки[ | ]