Мнимая единица

${\displaystyle i}$ на комплексной плоскости. Вещественные числа лежат на горизонтальной оси, чисто мнимые — на вертикальной.

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Термин может употребляться также в обобщённом смысле не только для комплексных чисел^[⇨].

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская ${\displaystyle i}$ или ${\displaystyle j}$. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$ с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «−i» и «−i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для ${\displaystyle i}$ через радикал (как ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$).

Определение[ | ]

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. ${\displaystyle i}$  — это одно из решений уравнения

${\displaystyle x^{2}+1=0,}$   или   ${\displaystyle x^{2}=-1.}$

И тогда его вторым решением будет ${\displaystyle -i}$, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы[ | ]

Степени ${\displaystyle i}$ повторяются в цикле:

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle i^{-3}=i}$

${\displaystyle i^{-2}=-1}$

${\displaystyle i^{-1}=-i}$

${\displaystyle i^{0}=1}$

${\displaystyle i^{1}=i}$

${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle i^{3}=-i}$

${\displaystyle i^{4}=1}$

${\displaystyle \ldots }$

Что может быть записано для любой степени в виде:

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i.}$

где n — любое целое число.

Отсюда: ${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$ где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Из тождества Эйлера следует, что число ${\displaystyle i^{i}}$ является вещественным:

${\displaystyle i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots }$.

Точнее, в комплексном анализе возведение в степень: ${\displaystyle x^{y}=\exp(y\cdot \operatorname {Ln} x)}$ является многозначной функцией, поэтому

${\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi (1+4n)}{2}}}}$, где ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.

Также верно, что ${\displaystyle (-i)^{(-i)}=i^{i}}$.

Факториал[ | ]

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}$

Также

${\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564....}$^[1]

Корни из мнимой единицы[ | ]

Основная статья: Корень (математика)

Корни квадратные из мнимой единицы

Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

${\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}$

В частности, ${\displaystyle {\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}}$ и ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}$

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

${\displaystyle u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}$

Иные мнимые единицы[ | ]

В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения ${\displaystyle x^{2}=-1}$.

К вопросу об интерпретации и названии[ | ]

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i. Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

Обозначения[ | ]

Обычное обозначение ${\displaystyle i}$, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать ${\displaystyle j}$, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: ${\displaystyle i=i(t)}$.

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как I.

См.также[ | ]

• Дуальные числа и Двойные числа
• Комплексный анализ
• Кватернион
• Гиперкомплексное число

Примечания[ | ]

Ссылки[ | ]

• Мнимая единица // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.