Лямбда-матрица

Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени , и нет элементов матрицы степени большей чем , то — степень λ-матрицы.

Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде:

В случае если определитель матрицы отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной.

Пример нерегулярной λ-матрицы:


Алгебра λ-матриц[ | ]

Сложение и умножение[ | ]

λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица.

Пусть и — λ-матрицы порядков и соответственно, и , тогда

;
,

где хотя бы одна из матриц — ненулевая, имеем

;
;

Деление[ | ]

Предположим, что — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы с или со степенью , меньшей степени , что

.

В этом случае называется правым частным при делении на , а правым остатком. Подобно этому и левое частное и левый остаток при делении на , если

и или степень меньше степени .

Если правый (левый) остаток равен 0, то называется правым (левым) делителем при делении на .

Если — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении на существуют и единственны.

λ-матрицы с матричными аргументами[ | ]

Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное

,

поэтому мы определяем правое значение λ-матрицы в матрице как

, если ;

и левое значение' как:

,

и в общем случае .

Теорема Безу для λ-матриц[ | ]

Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов: правым и левым остатком от деления λ-матрицы на , где единичная матрица является и соответственно.

Свойство доказывается через разложение на множители:

,

при умножении обеих частей этого равенства на слева и сложении всех полученных равенств при , правая часть будет иметь вид , где — некоторая λ-матрица. Левая часть равенства:

.

Таким образом:

.

Результат теперь следует из единственности правого остатка. Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного на справа и суммированием.

Следствие: чтобы λ-матрица делилась без остатка на справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы .

Литература[ | ]