Линейно упорядоченное множество

Для термина «Цепь» см. также другие значения.

Лине́йно упоря́доченное мно́жество (цепь) ― частично упорядоченное множество, в котором любая пара элементов сравнима, то есть для любых двух элементов и имеет место или .

Одно из центральных понятий в теории порядков; играет важную роль в общей алгебре, в частности, особо изучаются упорядоченные группы, упорядоченные кольца, упорядоченные поля. Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества.


Связанные определения[ | ]

Сечением линейно упорядоченного множества называется разбиение его на два подмножества и так, что , и для любых и , Классы и называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Различаются следующие типы сечений:

  • скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;
  • дедекиндово сечение ― в верхнем классе нет наименьшего элемента или в нижнем классе нет наибольшего, но не одновременно;
  • щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.

Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.

Подмножество линейно упорядоченного множества называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества содержит элементы, принадлежащие .

Свойства[ | ]

Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.

Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).[1]

Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.

Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству отрезка с порядком, унаследованным от .

Решётка изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая её подрешетка является ретрактом.

Примечания[ | ]