Лемма Гензеля

Лемма Гензеля — результат в модульной арифметике, утверждающий, что если алгебраическое уравнение имеет простой корень по модулю простого числа , то данному корню однозначно соответствует корень того же уравнения, взятого по модулю , который может быть найден итеративным подъёмом по степеням . Названа в честь Курта Гензеля. В более общем случае, лемма Гензеля также используется как обоснование для аналогов метода Ньютона в полных коммутативных кольцах (в частности, в p-адических числах).


Формулировка[ | ]

Существует множество эквивалентных формулировок леммы Гензеля.

Общая формулировка[ | ]

Пусть  — поле, полное относительно дискретного нормирования , а  — кольцо целых поля (то есть, элементов с неотрицательным нормированием). Пусть  — некоторый элемент , такой что , обозначим соответствующее ему поле вычетов[en] как . Пусть  — некоторый многочлен с коэффициентами из . Если у редуцированного многочлена есть простой корень (то есть, существует такой что и ), то существует единственный , такой что и [1].

Альтернативная формулировка[ | ]

В менее общем виде лемма формулируется следующим образом: пусть  — многочлен с целыми (или p-адическими целыми) коэффициентами. Пусть также и  — целые числа, такие что . Если  — целое число, такое что

то существует целое число , такое что

Более того, число определено однозначно по модулю и может быть выражено в явном виде как

где  — целое число, такое что

Следует заметить, что, в силу , также выполнено условие .

Пример[ | ]

Рассмотрим уравнение , определяющее автоморфные числа длины в десятичной системе счисления. Его можно рассматривать в виде эквивалентной системы двух уравнений по модулю степеней простых чисел:

При решениями уравнения являются числа, заканчивающиеся на , , или . Чтобы получить решения для больших , можно воспользоваться леммой Гензеля, считая, что .

По приведённым выше формулам, переход от к для будет иметь следующий вид:

При этом следует заметить, что, так как , также выполнено , поэтому вместо деления в указанной формуле можно обойтись умножением:

В данной формуле если равно или , то будет равно этому же числу. Для чисел же, заканчивающихся на или формула позволяет итеративно находить новые решения уравнения.

Например, . Отсюда можно прийти к тому, что является решением уравнения по модулю . И действительно,

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. Serge Lang, Algebraic Number Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1970, p. 43

Литература[ | ]