Копроизведение

Копроизведение (категорная сумма) семейства объектов — обобщение в теории категорий понятий дизъюнктного объединения множеств и топологических пространств и прямой суммы модулей или векторных пространств. Копроизведение семейства объектов — это «наиболее общий» объект, в который существует морфизм из каждого объекта семейства. Копроизведение объектов двойственно их произведению, то есть определение копроизведения можно получить из определения произведения обращением всех стрелок. Тем не менее, во многих категориях произведение и копроизведение объектов разительно отличаются.


Определение[ | ]

Пусть  — категория,  — индексированное семейство её объектов. Копроизведение этого семейства — это объект , вместе с морфизмами , называемыми каноническими вложениями, такой что для любого объекта категории и семейства морфизмов существует единственный морфизм , такой что , то есть следующая диаграмма коммутативна для каждого :

Coproduct-01.png

Копроизведение семейства обычно обозначают

или

Иногда морфизм обозначают

чтобы подчеркнуть его зависимость от .

Копроизведение двух объектов обычно обозначают или , тогда диаграмма принимает вид

Coproduct-03.png

Соответственно, обозначают при этом , или .

Единственность результата операции можно альтернативно выразить как равенство , верное для любых .[1]

Существует эквивалентное определение копроизведения. Копроизведение семейства  — это такой объект , что для любого объекта функция , заданная как , биективна.[2]

Примеры[ | ]

Свойства[ | ]

  • Если сумма объектов существует, то она единственна с точностью до изоморфизма.
  • Коммутативность:
  • Ассоциативность:
  • Если в категории существует начальный объект , то
  • Категория, в которой существуют копроизведения любого множества объектов — пример симметричной моноидальной категории.

Дистрибутивность[ | ]

В общем случае существует канонический морфизм , где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Product-Coproduct Distributivity SVG.svg

Универсальное свойство гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. Lambek J., Scott P. J. Introduction to Higher-Order Categorical Logic. — Cambridge University Press, 1988. — С. 304.
  2. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М.: «Мир», 1972.

Литература[ | ]

  • Маклейн С. Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].