Комплексная плоскость

Ко́мпле́ксная^[1] плоскость — это геометрическое представление множества комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Точка двумерной вещественной плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, имеющая координаты ${\displaystyle (x,y)}$, изображает комплексное число ${\displaystyle z=x+iy}$, где:

${\displaystyle x=\mathrm {Re} \,z}$ — вещественная часть комплексного числа,

${\displaystyle y=\mathrm {Im} \,z}$ — его мнимая часть.

Другими словами, комплексному числу ${\displaystyle z=x+iy}$ соответствует радиус-вектор с координатами ${\displaystyle (x,y).}$ Алгебраическим операциям над комплексными числами соответствуют операции над соответствующими им точками или векторами. Тем самым различные соотношения между комплексными числами получают наглядное изображение на комплексной плоскости:

• сложению комплексных чисел соответствует сложение радиус-векторов;
• умножению на комплексное число ${\displaystyle re^{i\varphi }}$ соответствует поворот радиус-вектора на угол ${\displaystyle \varphi }$ и растяжение радиус-вектора в ${\displaystyle r}$ раз;
• корни n-й степени из числа располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат.

Комплекснозначные функции комплексного переменного интерпретируются как отображения комплексной плоскости в себя. Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Множества на комплексной плоскости[ | ]

Открытые множества[ | ]

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ называется множество вида ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0}$. Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности ${\displaystyle {\dot {\mathcal {U}}}_{z_{0}}={\mathcal {U}}_{z_{0}}\setminus \{z_{0}\}}$.

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую её окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на ${\displaystyle \mathbb {C} }$ полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество[ | ]

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ будет предельной для множества ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$, если для произвольной окрестности ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ пересечение ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G}$ будет не пусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается ${\displaystyle G'}$.

Множество ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ будет называться замкнутым, если для него справедливо включение ${\displaystyle G'\subset G}$. Ясно видно, что для произвольного множества ${\displaystyle G}$ множество ${\displaystyle {\overline {G}}=G\cup G'}$ будет замкнуто; оно называется замыканием множества ${\displaystyle G}$.

Граница[ | ]

Точка ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ будет называться граничной для множества ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$, если для произвольной окрестности ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ пересечения ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G}$ и ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap ({\mathbb {C} }\setminus G)}$ будут не пусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством ${\displaystyle \partial G}$ или просто границей.

Всюду плотные множества[ | ]

Множество ${\displaystyle E\subset \mathbb {C} }$ будет называться всюду плотным в ином множестве ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$, если для произвольной точки ${\displaystyle z_{0}\in G}$ и любой окрестности ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ пересечение ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap E}$ не пусто.

Связность[ | ]

Расстояние между множествами[ | ]

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой ${\displaystyle z_{0}}$ и некоторым множеством ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ как величину ${\displaystyle \mathrm {dist} \,(z_{0},G)=\inf _{z\in G}|z-z_{0}|}$.

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в ${\displaystyle \mathbb {C} }$: ${\displaystyle \mathrm {dist} \,(G_{1},G_{2})=\inf _{z\in G_{1}}\mathrm {dist} \,(z,G_{2})=\inf _{z\in G_{2}}\mathrm {dist} \,(z,G_{1})}$.

Связность[ | ]

Множество ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ называется связным, если для него выполнено соотношение ${\displaystyle \inf _{z_{1},z_{2}\in G}|z_{1}-z_{2}|=0}$. Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество ${\displaystyle G}$ можно представить в виде объединения (конечного или счетного) ${\displaystyle \sum G_{n}}$, где ${\displaystyle G_{n}}$ — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества ${\displaystyle G}$. Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звёздные и линейно связные множества[ | ]

Множество ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ называется звёздным относительно точки ${\displaystyle z_{0}\in G}$, если для произвольной точки ${\displaystyle z\in G}$ выполняется включение ${\displaystyle {\overline {z_{0}z}}\subset G}$.

Множество ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ называется выпуклым, если оно звёздно относительно любой своей точки. Множество ${\displaystyle G^{*}}$ называется выпуклой оболочкой множества ${\displaystyle G}$, если оно выпукло, ${\displaystyle G\subset G^{*}}$ и для любого выпуклого множества ${\displaystyle G^{**}}$, содержащего множество ${\displaystyle G}$ выполняется включение ${\displaystyle G^{*}\subset G^{**}}$.

Ломаной ${\displaystyle \Gamma }$ называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество ${\displaystyle G}$ называется линейно связным, если для двух произвольных точек ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in G}$ существует ломаная ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ такая, что выполняется ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \Gamma }$.

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звёздные множества.

Кривые на ${\displaystyle \mathbb {C} }$[ | ]

Кривые и пути[ | ]

Кривой или путём на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ называется отображение вида ${\displaystyle \varphi (t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$. Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции ${\displaystyle \varphi (t)}$, но и её направление. Для примера, функции ${\displaystyle \varphi (t)}$ и ${\displaystyle \eta (t)=\varphi (1-t)}$ будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых[ | ]

Кривые ${\displaystyle \varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle \varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$ называются гомотопными, если существует кривая ${\displaystyle \xi (t,q)\colon [0;1]\times [0;1]\to \mathbb {C} }$, зависящая от параметра ${\displaystyle q}$ таким образом, что ${\displaystyle \xi (t,0)\equiv \varphi _{0}}$ и ${\displaystyle \xi (t,1)\equiv \varphi _{1}}$.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости[ | ]

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например^[2]:

• Три (различные) точки ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

${\displaystyle {\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}}$ является вещественным числом.

• Четыре (различные) точки ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение ${\displaystyle {\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}}$ является вещественным числом.

• Если даны три вершины параллелограмма: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},}$ то четвёртая определяется равенством^[3]: ${\displaystyle z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.}$

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид^[4]:

${\displaystyle z=ut+v,}$ где ${\displaystyle u,v}$ — комплексные числа, ${\displaystyle u\neq 0,t}$ — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми ${\displaystyle z=ut+v}$ и ${\displaystyle z=u't+v'}$ равен ${\displaystyle \operatorname {arg} (u'/u).}$ В частности, прямые перпендикулярны, когда ${\displaystyle u'/u}$ — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle u'/u}$ есть вещественное число; если при этом ${\displaystyle (v'-v)/u}$ также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая ${\displaystyle z=ut+v}$ рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение ${\displaystyle t=\operatorname {Im} {\frac {z-v}{u}}}$ положительно, на другой — отрицательно^[4].

Уравнение окружности с центром ${\displaystyle c}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ имеет чрезвычайно простой вид: ${\displaystyle |z-c|=r.}$ Неравенство ${\displaystyle |z-c|<r}$ описывает внутренность окружности^[4]. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности^[5]: ${\displaystyle z=c+e^{i\varphi }.}$

Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точка[ | ]

В комплексном анализе часто полезно рассматривать расширенную комплексную плоскость^[6], дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой ${\displaystyle (z=\infty )}$:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

Геометрически точка ${\displaystyle \infty }$ изображается точкой сферы Римана (её «северный полюс»).

При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место^[6]:

• ${\displaystyle {\frac {z}{\infty }}=0;\ \ z+\infty =\infty \ (z\neq \infty )}$
• ${\displaystyle z\cdot \infty =\infty ;\ \ {\frac {z}{0}}=\infty \ (z\neq 0)}$

${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек ${\displaystyle z}$, модуль которых больше, чем ${\displaystyle 1 \over \varepsilon }$, то есть внешняя часть ${\displaystyle 1 \over \varepsilon }$-окрестностей начала координат.

Расширенная комплексная плоскость называется также сферой Римана, так как она изоморфна обычной сфере ${\displaystyle S^{2}}$ (изоморфизм можно установить, например, при помощи стереографической проекции). Комплекснозначные функции в некоторых случаях могут быть продолжены на сферу Римана. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.^{[уточнить]}

Примечания[ | ]

Литература[ | ]

• Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
• Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменногои их применения. — М.: Высшая школа, 1988. — 167 с. — ISBN 5-06-003145-6.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ: учебник для студентов механико-математических специальностей университетов, СПб.: 2004.
• Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.