Кольцо периодов

Период в алгебраической геометрии — вещественное число, которое может быть выражено как объём области в , заданной системой полиномиальных неравенств с рациональными коэффициентами. Сумма, разность и произведение периодов также являются периодами, поэтому множество всех периодов образует кольцо, таким образом, изучается кольцо периодов. Комплексное число называется периодом, если и действительная, и мнимая его части являются периодами.

Классический пример периода — число , являющееся площадью единичного круга . Кольцо периодов включает в себя все алгебраические числа и многие известные трансцендентные числа, в частности, периодами являются натуральный логарифм любого алгебраического числа, (гамма-функция, для любых натуральных и ), значения эллиптических интегралов от рациональных аргументов, значения дзета-функции Римана целых аргументов. Постоянная Хайтина является примером числа, не являющегося периодом.

Любой период является вычислимым, следовательно, и арифметическим числом; при этом возможно построить вычислимое число, не являющееся периодом (например, с использованием диагонального метода[en]*). Множество периодов, равно как и множество всех чисел, не являющихся периодами, плотно в и в ; кольцо периодов является счётным множеством, а его дополнение до или до  — несчётным. Порядок на множестве действительных периодов изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

С периодами связан ряд открытых проблем, среди таковых:

  • неизвестно, является ли кольцо периодов полем;
  • неизвестно, являются ли числа , или (постоянная Эйлера — Маскерони) периодами;
  • неизвестно ни одного естественного примера (то есть не сконструированного специально для этой цели) вычислимого числа, не являющегося периодом;
  • неизвестен алгоритм, который может определить, равны ли два периода, заданные своими системами неравенств. Также неизвестно, является ли эта задача вообще алгоритмически разрешимой.

Ссылки[ | ]