Класс Черна

Классы Чженя (или класс Черна) — это характеристические классы, ассоциированные с комплексными[en] векторными расслоениями.

Классы Чженя ввёл Шиинг-Шен Чжень[1].


Геометрический подход[ | ]

Базовая идея и предпосылки[ | ]

Классы Чженя — это характеристические классы. Они являются топологическими инвариантами, ассоциированными с векторными расслоениями на гладких многообразиях. Вопрос, являются ли два внешне различные векторные расслоения одним и тем же расслоением может оказаться достаточно сложной задачей. Классы Чженя дают простой тест — если классы Чженя пары векторных расслоений не согласуются, векторные расслоения различны. Обратное, однако, не верно.

В топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто важно подсчитать, как много линейно независимых сечений имеет векторное расслоение. Классы Чженя дают некоторую информацию об этом посредством, например, теоремы Римана — Роха и теоремы Атьи — Зингера об индексе.

Классы Чженя также удобны для практических вычислений. В дифференциальной геометрии (и некоторых типах алгебраической геометрии), классы Чженя можно выразить как многочлены от коэффициентов формы кривизны.

Построение классов Чженя[ | ]

Существуют различные подходы к классам, каждый из которых фокусируется на слегка различных свойствах классов Чженя.

Исходным подходом к классам Чженя был подход со стороны алгебраической топологии — классы Чженя возникают через теорию гомотопии, которая позволяет построить ассоциированное с расслоением V отображение многообразия в классифицирующее пространство[en] (бесконечный грассманиан в этом случае). Для любого векторного расслоения V над многообразием M существует отображение f из M в классифицирующее пространство, такое что расслоение V равно прообразу (относительно f) универсального расслоения над классифицирующим пространством, а классы Чженя расслоения V можно поэтому определить как прообразы классов Чженя универсального расслоения. Эти универсальные классы Чженя, в свою очередь, можно выписать явно в терминах циклов Шуберта[en].

Можно показать, что два отображения f и g из M в классифицирующее пространство, прообразы относительно которых являются тем же самым расслоением V, должны быть гомотопными. Таким образом, прообразы относительно f и g любого универсального класса Чженя в классе когомологий многообразия M должны быть одним и тем же классом. Это показывает, что классы Чженя расслоения V корректно определены.

Подход Чженя опирается на дифференциальную геометрию через описанное в этой статье использование кривизны. Чжень показал, что более раннее определение было, фактически, эквивалентно его определению. Получившаяся теория известна как теория Чженя — Вейля[en].

Существует также подход Александра Гротендика, показавшего, что аксиоматически достаточно определить только классы линейных расслоений.

Классы Чженя возникают естественным образом в алгебраической геометрии. Обобщённые классы Чженя в алгебраической геометрии можно определить для векторных расслоений (или, более точно, локально свободных пучков) над любым неособым многообразием. Алгебро-геометрические классы Чженя не накладывают ограничений на основное поле. В частности, векторные расслоения не обязательно должны быть комплексными.

Независимо от исходной парадигмы интуитивное значение класса Чженя касается 'нулей' сечений векторного расслоения. Например, теорема, утверждающая, что нельзя причесать шар с волосами (теорема о причёсывании ежа). Хотя, строго говоря, вопрос относится к вещественному векторному расслоению («волосы» на шаре являются копиями вещественной прямой), существуют обобщения, в которых «волосы» комплексны (см. пример комплексной теоремы о причёсывании ежа ниже), или для одномерных проективных пространств над многими другими полями.

Класс Чженя линейных расслоений[ | ]

(Пусть X — топологическое пространство, имеющее гомотопический тип CW-комплекса.)

Важный частный случай возникает, когда V является линейным расслоением[en]. Тогда единственный нетривиальный класс Чженя - это первый класс Чженя, который является элементом второй группы когомологий пространства X. Будучи старшим классом Чженя, он равен классу Эйлера[en] расслоения.

Первый класс Чженя оказывается полным инвариантом[en], по которому классифицируются комплексные линейные расслоения в топологической категории. То есть, существует биекция между классами изоморфных линейных расслоений над X и элементами H2(X;Z), которое связывает с линейным расслоением его первый класс Чженя. Более того, эта биекция является гомоморфизмом групп (то есть изоморфизмом):

;

тензорное произведение комплексных линейных расслоений соответствует сложению во второй когомологической группе[2][3].

В алгебраической геометрии эта классификация (классов изоморфных) комплексных линейных расслоений по первому классу Чженя является грубой аппроксимацией классификации (классов изоморфных) голоморфных линейных расслоений[en] по классам линейно эквивалентных дивизоров.

Для комплексных векторных расслоений с размерностью выше единицы классы Чженя не являются полными инвариантами.

Построения[ | ]

С помощью теории Чженя — Вейля[ | ]

Основная статья: Теория Чженя — Вейля

Если задано комплексное эрмитово[en] векторное расслоение V комплексного ранга n над дифференцируемым многообразием M, представитель каждого класса Чженя (который называется формой Чженя) ck(V) расслоения V задаётся при помощи коэффициентов характеристического многочлена формы кривизны расслоения V.

Детерминант берётся над кольцом матриц n × n, элементы которых являются многочленами от t с коэффициентами из коммутативной алгебры чётных комплексных дифференциальных форм на M. Форма кривизны расслоения V определяется выражением

где  — форма связности, а d — внешний дифференциал, или тем же выражением, в котором является калибровочной формой для калибровочной группы для расслоения V. Скаляр t используется только как неизвестная[en] переменная для генерации суммы из определителя, а E означает единичную матрицу размера n × n.

Слова, что данное выражение даёт представителя класса Чженя означают, что 'класс' здесь определён с точностью до точной дифференциальной формы[en]. То есть, классы Чженя являются классами когомологий в смысле когомологий де Рама. Можно показать, что класс когомологий форм Чженя не зависит от выбора связности в V.

Используя матричное тождество tr(ln(X))=ln(det(X)) и ряд Маклорена для ln(X+I), это выражение для формы Чженя разворачивается в

С помощью класса Эйлера[ | ]

Можно определить класс Чженя в терминах класса Эйлера. Этот подход используется в книге Милнора и Сташефа[4] и подчёркивает роль ориентации векторного расслоения[en].

Основное наблюдение заключается в том, что комплексное векторное расслоение[en] обладает канонической ориентацией из-за того, что связна. Следовательно, можно определить старший класс Чженя расслоения как его класс Эйлера и работать с остальными классами Чженя по индукции.

Точная конструкция следующая. Идея заключается в изменении базиса для получения расслоения на единицу меньшего ранга. Пусть является комплексным векторным расслоением над паракомпактным пространством B. Рассматриваем B как вложенное в E нулевое сечение, полагаем и определяем новое векторное расслоение:

слой которого является фактором слоя F расслоения E по прямой, натянутой на вектор v в F (точка в B' определяется слоем F расслоения E и ненулевым вектором из F.)[5]. Тогда E' имеет ранг на единицу меньше, чем ранг E. Из последовательности Гизина[en] для расслоения :

мы видим, что является изоморфизмом для k < 2n − 1. Пусть

Нужна ещё некоторая работа, чтобы проверить выполнение аксиом классов Чженя для такого определения.

Примеры[ | ]

Комплексное касательное расслоение сферы Римана[ | ]

Пусть CP1 — сфера Римана, 1-мерное комплексное проективное пространство[en]. Предположим, что z является голоморфной локальной координатой на сфере Римана. Пусть V = TCP1 — пучок комплексных касательных векторов, имеющих вид a∂/∂z в каждой точке, где a является комплексным числом. Мы докажем комплексную версию теоремы о причёсывании ежа: V не имеет не обращающихся в ноль сечений.

Для этого нам нужен следующий факт: первый класс Чженя тривиального расслоения равен нулю, то есть,

Это следует из того, что тривиальное расслоение всегда обладает плоской связностью.

Покажем, что

Рассмотрим кэлерову метрику

Можно показать, что 2-форма кривизны задаётся выражением

Кроме того, по определению первого класса Чженя

Мы должны показать, что этот класс когомологий ненулевой. Для этого достаточно вычислить интеграл по сфере Римана:

после перехода к полярной системе координат. По теореме Стокса интеграл от точной формы[en] должен равняться 0, так что класс когомологий ненулевой.

Это доказывает, что TCP1 не является тривиальным векторным расслоением.

Комплексное проективное пространство[ | ]

Существует точная последовательность расслоений[6]:

где является структурным пучком (то есть тривиальным линейным расслоением), является скручивающим пучком Серра (то есть пучком гиперплоскостей[en]), а последний ненулевой член является касательным пучком/расслоением.

Имеется два пути получения вышеупомянутой последовательности:

  1. [7] Пусть z0, … zn — координаты в , и . Тогда мы имеем:

    Другими словами, кокасательный пучок , который является свободным -модулем с базисом , включается в точную последовательность

    где — базис среднего члена. Та же последовательность является тогда точной для всего проективного пространства и двойственной к ней является вышеприведённая последовательность.
  2. Пусть L — прямая в , проходящая через начало координат. Легко видеть, что комплексное касательное пространство к в точке L естественно изоморфно множеству линейных отображений из L в его дополнение. [8] Таким образом, касательное расслоение может быть отождествлено с расслоением гомоморфизмов
    где — векторное расслоение, такое что . Отсюда следует:
    .

Ввиду аддитивности полного класса Чженя c = 1 + c1 + c2 + … (то есть формулы суммы Уитни),

,

где a — канонический генератор группы когомологий . То есть взятое со знаком минус значение первого класса Чженя тавтологического линейного расслоения[en] (замечание: , когда E* является двойственным для E.) В частности, для любого ,

Многочлен Чженя[ | ]

Многочлен Чженя является удобным способом работы с классами Чженя и связанными понятиями. По определению, для комплексного векторного расслоения E, многочлен Чженя ct расслоения E задаётся равенством:

Это не новый инвариант — формальная неизвестная t просто отражает степень ck(E)[9]. В частности, полностью определён полным классом Чженя расслоения E — .

Формула суммы Уитни, одна из аксиом классов Чженя (см. ниже), утверждает, что ct аддитивно в смысле:

Теперь, если является прямой суммой (комплексных) линейных расслоений, то из формулы суммы Уитни следует:

где  — это первые классы Чженя. Корни , называются корнями Чженя расслоения E и они определяют коэффициенты многочлена. То есть,

где  — элементарные симметрические многочлены[en]. Другими словами, если считать ai формальными переменными, ck «равны» . Основной факт о симметрических многочленах заключается в том, что любой симметрический многочлен от, скажем, ti является многочленом от элементарных симметричных многочленов от ti. Согласно принципу расщепления[en] или из теории колец, любой многочлен Чженя разлагается на линейные множители после увеличения кольца когомологий. Поэтому E не обязательно должно быть прямой суммой линейных расслоений. Вывод

«Можно вычислить любой симметрический многочлен f от комплексного векторного расслоения E путём записи f в виде многочлена от с последующей заменой на

Пример: У нас есть многочлены sk

с и так далее (см. Тождества Ньютона). Сумма

называется характером Чженя расслоения E, первыми несколькими членами которого являются: (мы опускаем в обозначениях E)

Пример: Класс Тодда расслоения E задаётся выражением:

Замечание: Наблюдение, что класс Чженя является, по существу, элементарным симметрическим многочленом можно использовать для «определения» классов Чженя. Пусть Gn — бесконечный грассманиан[en] n-мерных комплексных векторных пространств. Он является классифицирующим пространством[en] в том смысле, что если задано комплексное векторное расслоение E ранга n над X, существует непрерывное отображение

единственное с точностью до гомотопии. Теорема Бореля[en] утверждает, что кольцо когомологий грассманиана Gn — это в точности кольцо симметрических многочленов, которые являются многочленами от элементарных симметричных многочленов . Таким образом, для прообраза fE

Откуда

Замечание: Любой характеристический класс является многочленом от классов Чженя по следующим причинам. Пусть является контравариантным функтором, который сопоставляет CW-комплексу X множество классов изоморфных комплексных векторных расслоений ранга n над X. По определению, характеристический класс является естественным преобразованием из в функтор когомологий Характеристические классы образуют кольцо ввиду кольцевой структуры кольца когомологий. Лемма Йонеды утверждает, что кольцо характеристических классов является в точности кольцом когомологий грассманиана Gn:

Свойства классов Чженя[ | ]

Если дано комплексное[en] векторное расслоение E над топологическим пространством X, классы Чженя расслоения E — это последовательность элементов когомологий пространства X. k-ый класс Чженя расслоения E, который обычно обозначается через ck(V), является элементом

H2k(X;Z),

когомологий пространства X с целыми коэффициентами. Можно также определить полный класс Чженя

Поскольку значения располагаются в целочисленных группах когомологий, а не в когомологиях с вещественными коэффициентами, эти классы Чженя слегка более чётки, по сравнению с классами в римановом примере.

Классическое аксиоматическое определение[ | ]

Классы Чженя удовлетворяют следующим четырём аксиомам:

Аксиома 1. для всех расслоений E.

Аксиома 2. Естественность: Если является непрерывным и f*E является индуцированным векторным расслоением расслоения E, то .

Аксиома 3. Формула суммы Уитни: Если является другим комплексным векторным расслоением, то классы Чженя прямой суммы задаются выражением

то есть,

Аксиома 4. Нормализация: Полный класс Чженя тавтологического линейного расслоения[en] над CPk равен 1−H, где H двойственен по Пуанкаре гиперплоскости .

Аксиоматический подход Александра Гротендика[ | ]

Альтернативно, Гротендик[10] заменил эти аксиомы чуть меньшим числом аксиом:

  • Естественность: (То же, что и выше)
  • Аддитивность: Если является точной последовательностью векторных расслоений, то .
  • Нормализация: Если E является линейным расслоением[en], то , где  — класс Эйлера[en] лежащего в основе вещественного векторного расслоения.

Он показал, используя теорему Лере — Хирша[en], что полный класс Чженя комплексного векторного расслоения конечного ранга может быть определён в терминах первого класса Чженя тавтологически определённого линейного расслоения.

А именно, введя проективизацию P(E) комплексного векторного расслоения ранга n как расслоение на B, слой которого в произвольной точке является проективным пространством слоя Eb. Тотальное пространство этого расслоения P(E) снабжено его тавтологическим комплексным линейным расслоением, которое мы обозначаем , а первый класс Чженя

ограничивается на каждом слое P(Eb) на взятый со знаком минус класс (двойственный по Пуанкаре) гиперплоскости, который порождает когомологии слоя.

Классы

,

таким образом, образуют семейство классов когомологий, ограничивающихся на базис когомологий слоя. Теорема Лере — Хирша[en] утверждает, что любой класс в H*(P(E)) можно записать единственным образом как линейную комбинацию 1, a, a2, …, an−1 с классами на базисе в качестве коэффициентов.

В частности, можно определить классы Чженя расслоения E в смысле Гротендика, которые обозначаются как раскладывая класс таким образом:

Можно проверить, что это альтернативное определение совпадает с любым другим определением.

Старший класс Чженя[ | ]

Фактически, эти свойства однозначно определяют классы Чженя. Из них вытекает, среди прочего:

  • Если n является комплексным рангом V, то для всех k > n. Таким образом, полный класс Чженя обрывается.
  • Старший класс Чженя расслоения V (, где n является рангом V) всегда равен классу Эйлера[en] лежащего в основе вещественного векторного расслоения.

Классы Чженя в алгебраической геометрии[ | ]

Аксиоматическое описание[ | ]

Существует другое построение классов Чженя, которое принимает значения в алгебро-геометрическом аналоге кольца когомологий, кольце Чжоу[en]. Можно показать, что существует единственная теория классов Чженя, такая, что для заданного алгебраического векторного расслоения над квазипроективным многообразием существует последовательность классов , такая, что

  1. Для обратимого пучка ,
  2. Если дана точная последовательность векторных расслоений выполняется формула суммы Уитни:
  3. для
  4. Отображение расширяется до морфизма кольца

Абстрактные вычисления с использованием формальных свойств[ | ]

Прямые суммы линейных расслоений[ | ]

Используя эти соотношения, мы можем осуществить многочисленные вычисления для векторных расслоений. Во-первых, заметим, что если у нас есть линейные расслоения мы можем образовать короткую точную последовательность векторных расслоений

Используя свойства и , получаем

По индукции получаем

Раслоения, двойственые линейным расслоениям[ | ]

Поскольку линейные расслоения на гладком проективном многообразии определяются классом дивизоров , а двойственное линейное расслоение определяется отрицательным классом дивизоров , мы получаем

Касательное расслоение проективного пространства[ | ]

Вышеизложенное можно применить к последовательности Эйлера для проективного пространства

чтобы вычислить

где  — класс гиперплоскостей степени 1. Заметим также, что в кольце Чжоу .

Нормальная последовательность[ | ]

Вычисление характеристических классов для проективного пространства является основой для вычисления характеристических классов многих других пространств, поскольку для любого гладкого проективного подмногообразия существует короткая точная последовательность

Трёхмерная квинтика[ | ]

Например, рассмотрим трёхмерную квинтику в . Тогда нормальное расслоение задаётся и мы имеем короткую точную последовательность

Пусть означает класс гиперплоскостей в . Тогда формула суммы Уитни даёт нам

Поскольку кольцо Чжоу гиперповерхности трудно вычислить, мы будем рассматривать эту последовательность как последовательность когерентных пучков в . Это даёт нам

Заметим, что имеет место формальный степенной ряд

Используя это, мы можем получить

Используя теорему Гаусса — Бонне, мы можем проинтегрировать класс для вычисления эйлеровой характеристики. Традиционно это называется классом Эйлера[en]. Имеем

поскольку класс может быть представлен пятью точками (по теореме Безу. Эйлерова характеристика может быть тогда использована для вычисления чисел Бетти путём использования определения эйлеровой характеристики и теоремы Лефшеца о гиперплоских сечениях[en].

Кокасательная последовательность[ | ]

Другое полезное вычисление — кокасательное расслоение для проективного пространства. Мы можем дуализировать эйлерову последовательность и получить

Используя формулу суммы Уитни мы получаем

Близкие понятия[ | ]

Характер Чженя[ | ]

Классы Чженя можно использовать для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в пополнение его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Чженя определяется выражением

Более общо, если является прямой суммой линейных расслоений с первыми классами Чженя характер Чженя определяется аддитивно

Это можно переписать следующим образом[11]:

Это последнее выражение, подкреплённое принципом расщепления[en], используется как определение ch(V) для произвольных векторных расслоений V.

Если для определения классов Чженя используется связность в случае, когда базой является многообразие (то есть теория Чженя — Вейля[en]), явным выражением для характера Чженя является

где кривизна связности.

Характер Чженя полезен в том числе тем, что он позволяет вычислить класс Чженя тензорного произведения. Точнее говоря, он удовлетворяет следующим равенствам:

Как утверждалось выше, используя аксиому аддитивности Гротендика для классов Чженя, первое из этих тождеств можно обобщить до утверждения, что ch является гомоморфизмом абелевых групп из K-теории K(X) в рациональные когомологии пространства X. Второе тождество устанавливает факт, что этот гомоморфизм сохраняет произведение в K(X), а потому ch является гомоморфизмом колец.

Характер Чженя используется в теореме Хирцебруха — Римана — Роха[en].

Числа Чженя[ | ]

Если мы работаем с ориентированным многообразием размерности 2n, то любое произведение классов Чженя полной степени 2n может быть спарено с фундаментальным классом (или «интегрировано по многообразию»), давая целое число, число Чженя векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 6, существует три линейно независимых числа Чженя, задаваемых значениями c13, c1c2 и c3. В общем случае, если многообразие имеет размерность 2n, число независимых чисел Чженя равно числу разбиений числа n.

Числа Чженя касательного расслоения комплексного (или почти комплексного) многообразия называются числами Чженя многообразия и являются важными инвариантами.

Класс Чженя в обобщённых теориях когомологий[ | ]

Существует обобщение теории классов Чженя, где обычные когомологии заменяются на обобщённые. Теории, для которых такое обобщение возможно, называются комплексно ориентируемыми[en]. Формальные свойства классов Чженя остаются теми же с одной критической разницей — правило вычисления первого класса Чженя тензорного произведения линейных расслоений в терминах первых классов Чженя разложения не является (обычным) сложением, а задаётся законом формальной группы[en].

Класс Чженя в алгебраической геометрии[ | ]

В алгебраической геометрии существует похожая теория классов Чженя векторных расслоений. Существует несколько вариаций, в зависимости от того, в каких группах классы Чженя лежат:

  • Для комплексных многообразий классы Чженя могут принимать значения в обычных когомологиях (как выше).
  • Для многообразий над полями общего вида классы Чженя могут принимать значения в теориях когомологий, таких как этальные когомологии[en] или l-адические когомологии[en].
  • Для многообразий V над полями общего вида классы Чженя могут принимать также значения в гомоморфизмах групп Чжоу[en] CH(V). Например, первый класс Чженя линейного расслоения над многообразием V является гомоморфизмом из CH(V) в CH(V), уменьшающий степень на 1. Это соответствует факту, что группы Чжоу являются аналогом групп гомологий и элементы групп когомологий можно считать гомоморфизмами групп гомологий путём произведения Уитни[en].

Классы Чженя многообразий со структурой[ | ]

Теория классов Чженя является источником инвариантов кобордизмов для почти комплексных структур.

Если M — почти комплексное многообразие, то его касательное расслоение является комплексным векторным расслоением. Классы Чженя многообразия M тогда определяются как классы Чженя его касательного расслоения. Если M является также компактным и имеет размерность 2d, то каждый одночлен полной степени 2d в классах Чженя может быть спарен с фундаментальным классом многообразия M, давая целое число, число Чженя многообразия M. Если M′ является другим почти комплексным многообразием той же размерности, то оно бордантно M тогда и только тогда, когда число Чженя многообразия M′ совпадает с числом Чженя многообразия M.

Теория также обобщается на вещественные симплектические векторные расслоения путём использования совместимых почти комплексных структур. В частности, симплектические многообразия имеют однозначно определённый класс Чженя.

Классы Чженя на арифметических схемах и диофантовых уравнениях[ | ]

(См. Геометрии Аракелова[en])

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. Chern, 1946.
  2. Tu, Loring, 1995, с. 267ff.
  3. Hatcher, 2003.
  4. Milnor, Stasheff, 1974.
  5. Замечание: Обозначение здесь отличается от обозначений Милнора − Сташефа, но более естественно.
  6. Эта последовательность иногда называется точной последовательностью Эйлера.
  7. Harshorne, 1977, с. 176, Ch. II. Theorem 8.13..
  8. Пусть — группа комплексных чисел, которая действует в n-мерном пространстве без начала координат умножением. Тогда — главное расслоение со структурной группой , базой которого является комплексное проективное пространство . Прямая L в (проходящая через начало координат) будет точкой в пространстве . Катанаев, 2016, 472
  9. В теоретических терминах колец, существует изоморфизм градуированных колец:
    где слева стоит когомологическое кольцо чётных членов, является кольцом гомоморфизмов, которые не учитывают градуировку, а x однороден и имеет степень |x|.
  10. Grothendieck, 1958.
  11. (См. также #Многочлен Чженя.) Заметим, что если V является суммой линейных расслоений, классы Чженя V можно выразить как элементарные симметричные многочлены[en] от , В частности, с одной стороны,
    а с другой стороны,
    Следовательно, можно использовать тождества Ньютона для выражения другим способом степенной суммы от ch(V) лишь в терминах классов Чженя of V, что даёт требуемую формулу.

Литература[ | ]

  • Chern S. S. Characteristic classes of Hermitian Manifolds // Annals of Mathematics. — The Annals of Mathematics, 1946. — Т. 47, вып. 1. — С. 85–121. — ISSN 0003-486X. — doi:10.2307/1969037.
  • Alexander Grothendieck. La théorie des classes de Chern // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1958. — Т. 86. — С. 137–154. — ISSN 0037-9484.
  • Jürgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — 4th. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. — ISBN 978-3-540-25907-7. (Приведен очень короткий вводный обзор классов Чженя).
  • May J.P. A Concise Course in Algebraic Topology. — University of Chicago Press, 1999. — ISBN 978-0226511832.
  • John Willard Milnor, James D. Stasheff. Characteristic classes. — Princeton University Press; University of Tokyo Press, 1974. — Т. 76. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 978-0-691-08122-9.
  • Elena Rubei. Algebraic Geometry, a concise dictionary. — Berlin/Boston: Walter De Gruyter, 2014. — ISBN 978-3-11-031622-3.
  • Raoul Bott Tu, Loring W. Differential forms in algebraic topology. — Corr. 3. print.. — New York [u.a.]: Springer, 1995. — С. 267ff. — ISBN 3-540-90613-4.
  • Harshorne R. Algebraic geometry. — Springer-Verlag, 1977. — Т. 52. — (Graduate Texts in Math.). — ISBN 0-387-90244-9. — ISBN 3-540-90244-9.
  • Катанаев Михаил Орионович. Геометрические методы в математической физике. — Третья, дополненная версия расширенного варианта курса лекций. — 2016. — (Курс лекций 2008-2016 годов в научно-образовательном центре при МИАН им. В.А. Стеклова.).

Ссылки[ | ]